# P56：有界整数缺陷的参数最优性定理

日期：2026-09-08。

出版说明：本笔记作为同日公开论文 v2 的补充推导保留。下文“不改线上状态”
指不更改竞赛结算与纪录，不表示论文未公开。完整中英文论文见
https://minmaxarena.com/proofs/uniform-mesh-lattice 。

**状态：当前作者自审通过的研究证明稿，尚未交叉审阅。** 不改线上状态，
不声称文献首创。本文不依赖有限范围数值搜索来证明无限个参数。
拓扑基础来自 `P56-N52-ROW-STRUCTURE-2026-09-08.md`，一般行/面积判据见
`P56-ROW-CRITERION-2026-09-08.md`。

## 1. 主定理

令 K,L 为正整数，

    D = 3L^2-K^2 > 0,
    K >= max(100,10D^2).                                  (T)

在单位正方形中取交错窗口

    P_e = {(i/K,j/L): 0<=i<=K, 0<=j<=L, i+j=e mod 2},
    e in {0,1},   n_e = |P_e|.

则在允许实数坐标的连续 P56 问题中，

    M_opt(n_e) = sqrt(1+(L/K)^2)
               = sqrt(4/3+D/(3K^2)).                      (1.1)

两个相位若点数相同，只给出一个基数；若不同，两个基数均有此最优值。
这里不是要求其他最优构型与 P_e 全等，也不是九位小数网格上的最优性声明。

**与上一阶段的区别：** 本定理不逐个枚举 n 的因数表示。它用点数的乘积
约束把所有其他行型一次分成两类，再统一排除可能更好的那一类。

## 2. 新的墙方向引理：误差随差距趋零

设任意竞争点集的分离距离、覆盖半径分别为 delta,h，M=2h/delta。
先在原有局部条件下考虑左墙相邻站点 p=(x_1,y_1)、q=(x_2,y_2)，
其中 y_2>y_1。令 b=|p-q|、dy=y_2-y_1、X=x_1+x_2，墙上共同等距点距离
rho<=h。直接代数恒等式是

    4rho^2/b^2 = 1+X^2/dy^2.

由于 M>=2rho/b，且 |x_2-x_1|<=X，墙步相对竖直方向的倾角 theta 满足

    tan|theta| <= X/dy <= sqrt(M^2-1),
    |theta| <= arctan sqrt(M^2-1).                        (2.1)

这个界不需要源笔记中更复杂的逐点墙面钉扎引理。

设 0<=M-2/sqrt(3)<=E，beta=3E/2。
函数 arctan sqrt(M^2-1) 在 M>=2/sqrt(3) 上导数至多3/2，故

    |theta| <= pi/6+beta.                                (2.2)

相比旧稿的36度固定锥，这是真正随 E 趋零的30度锥。
在已经证明为 Z 模式的墙上，每条边都邻接一次约60度的大转角，因此

    pi/6-9beta <= |theta| <= pi/6+beta.                   (2.3)

角点扇形为1或2个好三角形，扇角相对60或120度的误差至多4beta。
结合 (2.3)，S 墙的首末步只能接近0或±60度，误差至多13beta。
当14beta<pi/6时，±60度支在墙锥 (2.2) 外，故 S 首末步倾角 <=13beta。
Z 非角点的入内行色边，由两侧扇角各自估计，倾角 <=3beta。
统一记

    A=13beta,  kappa=6beta,  alpha=pi/6-9beta.             (2.4)

于是所有行端点的入内边倾角 <=A，内部步转角 <=kappa；Z 墙一步竖向分量
<=B delta cos(alpha)，其中 B=U(sqrt(3)/2+beta)。

以上只强化已证明的局部界，不提前假设行最终到达另一面墙。

## 3. 主定理范围内的统一几何准备

下文令 U=sqrt(4/3+D/(3K^2))，只考虑 M<=U 的竞争点集。
由 (T)，

    1/K <= 1/100,
    D/K <= 1/sqrt(10K) < 1/30,
    D^2/K <= 1/10.                                       (3.1)

候选构造的基数满足

    |2n-(K+1)(L+1)| <=1.

又 L^2/K^2=(1+D/K^2)/3，得 L<=3K/5，以及

    K^2/(2sqrt(3)) < n <= K^2/3.                         (3.2)

上界可直接从 n/K^2 <=3/10+4/(5K)+1/K^2<=1/3 检查。
同时 U<=7/6，事实上 U<1.160182。

由分离圆盘装箱面积，delta<=1/(sqrt(n*pi)/2-1)。使用
pi>3、sqrt(3)<7/4 和 (3.2)，得到 sqrt(n*pi)>9K/10，因而

    U delta < 3/K,
    h<3/(2K)<1/4.                                       (3.3)

所以每墙至少4站点，存在内部 Voronoi 顶点，原稿证明的通用下界适用。
覆盖圆面积结合 n<=K^2/3、pi<22/7、U<=7/6 给出

    delta > 8/(5K).                                     (3.4)

这里 4K^2/(U^2 n pi) >1512/539>64/25，故 (3.4) 是严格界。

取

    E=D/(6K^2), beta=D/(4K^2),
    kappa=3D/(2K^2), A=13D/(4K^2).

这是合法差距上界，因为

    U-2/sqrt(3)=D/[3K^2(U+2/sqrt(3))]<D/(6K^2).

由 (3.1)，E<1/18000<.005481。因此先前一般判据的全部局部常数条件满足：
好三角形锐角，内部度6，四墙交替 S/Z，展开着色良定义。
闭环仍由“展开中每步增加同一个单位向量”排除，不要求展开全局单射。

## 4. 任意行少于 K 步，且必贯穿左右

从左墙端点出发，前 K 步的倾角若存在，绝对值均不超过

    A+(K-1)kappa
      <= (D/K)(3/2+13/(4K)) <1/10.

于是前 K 步的横向位移严格超过

    (8/(5K))*K*cos(1/10)
      >= (8/5)*(1-1/200)=199/125>1,

违反正方形的宽度。因此该行少于 K 步，所有步骤均严格向右。
如果终点也在左墙，它的入内边必须向右，使到达终点的最后一步反而向左，
矛盾。右墙出发同理。于是所有行都是左右贯穿、互不交叉的路径。

原稿的条带、A/B 行计数和墙区不重叠结论现在均适用。
每行的步数 r<K；不需估计一条行包含了全体 n 点中的多大比例。

## 5. 双端投影的统一损失界

第 i 步距较近端点至多 (r-1)/2 步，因此

    |theta_i| <= A+kappa(r-1)/2
      < (D/K)(3/4+13/(4K)) <=4D/(5K).

用 cos x>=1-x^2/2，r 步的横向跨度至少 delta H_r，其中

    H_r >= r-8D^2/(25K),
    delta H_r <=1.                                      (5.1)

另一方面，若竞争行型有 k=L'+1 行，其左右 Z 墙各有 L' 步。
端点到上下墙的距离界给出

    1<=delta C_{L'},
    C_{L'} = S+A+L' B cos(alpha),
    S=sqrt(U^2-1)=L/K.                                  (5.2)

现将 (5.2) 的系数统一化。
由 U=2/sqrt(3)+epsilon、epsilon<=E 以及 U<=7/6，

    B=U(sqrt(3)/2+beta)
      <=1+(11/4)E <=1+11D/(24K^2).

由于 alpha=pi/6-9beta，

    cos(alpha)<=sqrt(3)/2+9beta/2
              =sqrt(3)/2+9D/(8K^2).

相乘并使用 D/K^2<=1/3000，得

    B cos(alpha)<=sqrt(3)/2+5D/(3K^2).                   (5.3)

此外 S-1/sqrt(3)<D/(3K^2)，所以

    S+A<=1/sqrt(3)+4D/K^2.                              (5.4)

若 L'<L<=3K/5，由 (5.2)--(5.4)，

    C_{L'} <=sqrt(3)L'/2+1/sqrt(3)+D/K+4D/K^2.           (5.5)

## 6. 不再枚举因数：统一排除所有潜在改进的行型

把任意竞争行计数编码成整数 K',L'：

* A 族每行 m 点、k 行：K'=2m-1，L'=k-1。
* B 族 m,m-1 交替：K'=2m-2，L'=k-1。

两种情况均满足

    |(K'+1)(L'+1)-2n|<=1,
    |(K'+1)(L'+1)-(K+1)(L+1)|<=2.                        (6.1)

并且条带面积下界都是

    M>=sqrt(1+(L'/K')^2).                               (6.2)

若 K'<=K，由 (6.1) 及 L+1>2 可知必有 L'>=L；否则两个因子都不增、
至少一个减小，会使乘积下降超过2。因此 (6.2) 已不小于 U。

剩下的类型满足 K'>K。由同一乘积约束，L'必小于L，所以

    K'>=K+1,  L'<=L-1.                                 (6.3)

这类中点数最多的行有 r 步，其中 A 族 r=(K'-1)/2，B 族 r=K'/2。
两者都满足 r>=(K'-1)/2。由 (5.1)、(5.5)，

    H_r-C_{L'}
      >= (K'-1-sqrt(3)L')/2-1/sqrt(3)
         -8D^2/(25K)-D/K-4D/K^2.

使用 (6.3) 和 K-sqrt(3)L=-D/(K+sqrt(3)L)，进一步得到

    H_r-C_{L'}
      > 1/(2sqrt(3))
        -[8D^2/25+5D/4]/K-4D/K^2.                       (6.4)

由 K>=10D^2、K>=100、D>=1，右边严格大于

    1/4-4/125-1/8-1/250 = 89/1000 >0.                   (6.5)

于是同一个 delta 不可能同时满足 delta H_r<=1 和 delta C_{L'}>=1。
所有 K'>K 的行型都被排除，包括任意实际弯曲的行。

综上，所有竞争点集都有 M>=U；而交错窗口确实达到 U。
构造上界的精确公式已在早期边界损失稿第4节证明，此处 K>L、K/L<sqrt(3)
保证处于压缩分支。主定理成立。□

## 7. 两条从已有结果出发的完整无限序列

递推

    (K,L) -> (2K+3L,K+2L)                               (7.1)

保持整数缺陷 D=3L^2-K^2 不变，且 K 严格增长。因此对于任何给定正 D，
只要存在一组正整数解，沿 (7.1) 最终必满足 (T)，得到无限多个最优基数。
这只需要直接展开验证恒等式，不需要假设所有此类方程解都由一个种子生成。

### D=2，种子 (19,11)

    (19,11), (71,41), (265,153), (989,571), ...
    n = 120, 1512, 20482, 283140, 3935672, ...

第一项已由一般有限判据证明；第二项 n=1512 本次也通过该判据。
从 K=265 起全部满足主定理，因此这条序列的**每一项**都有最优性证明。

### D=3，种子 (12,7)

    (12,7), (45,26), (168,97), (627,362), ...
    n = 52, 621, 8281, 113982, 1582516, ...

前两项分别由原稿及本次有限判据处理；从 K=168 起全部由主定理覆盖。
两序列在这些种子之后均有至少一个 K,L 为奇数，故两个相位点数相同。

其他固定缺陷也有无限尾部，例如 D=11 的种子 (17,10)、D=12 的种子
(24,14)。后者会同时给出两个相邻基数。但本稿不把尚未逐项处理的有限
前缀自动列为已解决，报告中明确标出主定理开始适用的位置。

## 8. 一个精确的渐近结论

对任意上述固定 D 的递推序列，n/K^2 ->1/(2sqrt(3))，而

    K^2 (M_opt(n)-2/sqrt(3))
      = D/[3(M_opt(n)+2/sqrt(3))] -> D/(4sqrt(3)).

故

    n (M_opt(n)-2/sqrt(3)) -> D/24.                       (8.1)

特别地，D=2 序列的极限为1/12，D=3 序列为1/8。
这里说的是这些已证明序列的精确最优值渐近式，不是一般 n 的收敛定理。

## 9. 固定比例放大并不是正确的一般规律

本轮最初尝试直接放大 (12t,7t)，其构造分数恒为 sqrt(193)/12。
但是不能把52、187、188的成功外推到所有尺度。

存在明确的构造反例：t=545，

    原窗口 (6540,3815)，n=12,480,228；
    改进窗口 (6571,3797)，点数完全相同。

因为

    (6541)(3816)=(6572)(3798),
    6571^2<3*3797^2,
    1+(3797/6571)^2 =57595250/43178041 <193/144.

平方分数改进为精确正数39645913/6217637904。
这是解析构造反例，不必生成一千多万个点，也不宣称改进构造本身最优。

所以应保持的是整数缺陷 D，而非保持 K/L 完全不变。固定比例放大时
D按尺度平方增长，不能满足本定理的近等边条件；固定D则使差距按1/n衰减。

## 10. 复核、范围与停止点

复现：

```text
python tools/research-p56-defect-families-2026-09-08.py
```

输出 `p56-defect-families-audit-2026-09-08.json`，包括：

* 16项统一有理常数检查；均是 (3.1) 约束下的端点/系数上界，不是对 K
  取有限网格测试。最弱统一竞争行排除余量仍 >89/1000。
* 两个小参数 n=621、1512 的完整有限表示证书。
* 四组递推的整数恒等式、适用阈值和前六项（样本不是无限性证明本身）。
* 固定比例放大的精确反例。

作者自审重点重新检查了：墙步恒等式的方向、三角形展开与单射的区别、
投影屏障先于双端估计的顺序、竞争窗口乘积的±1/±2偏差、相位基数、
所有参数误差中 D 和 K 的次数，以及 (6.4) 的不等号方向。

本轮在这里收束：已经从七个离散参数推进到可明确陈述的参数定理、无限
序列及渐近式。继续优化100和10等保守常数，或者穷举更多有限前缀，对
主要结论的增益有限。下一阶段更值得做的是将这套定理与早期取等结果整合
进论文并进行之后的独立审阅，而不是重新承诺所有 n 的通解。