# P56：有限宽度投影判据与一批非取等最优值

日期：2026-09-08。

出版说明：本笔记作为同日论文 v2 的补充材料公开；“不修改站点的最优性标记”
与公开研究稿并不冲突。整合版见 https://minmaxarena.com/proofs/uniform-mesh-lattice 。

**状态：经过当前作者自审的研究证明稿，尚未交叉审阅。** 承接
`P56-N52-ROW-STRUCTURE-2026-09-08.md` 的局部几何、墙模式、条带与面积证明。
自审见 `P56-N52-SELF-REVIEW-2026-09-08.md`。本稿不使用源笔记中尚未审完的
Landau 估计，不宣称一般最优解都是严格网格，不修改站点的最优性标记。

**后续参数定理：** `P56-BOUNDED-DEFECT-THEOREM-2026-09-08.md` 进一步收紧墙
方向界，证明若 D=3L^2-K^2>0 且 K>=max(100,10D^2)，相应窗口达到全局最优。
这是覆盖无限参数的解析论证，不是把本表继续扩充到更大的有限上限。
本稿保留原判据及未通过状态，不将后续结论倒写为原脚本已经证明的结果。

## 1. 推广的结果

同一充分判据在 19<=n<=400 范围内给出下列七个连续最优值，均严格高于
通用下界 2/sqrt(3)：

| n | 连续最优值 | 构造窗口 (K,L,phase) | 候选的行结构 |
|---|---|---|---|
| 52 | sqrt(193)/12 | (12,7,0) | 8行，7/6交替 |
| 99 | sqrt(389)/17 | (17,10,0) | 11行，每行9点 |
| 120 | sqrt(482)/19 | (19,11,0) | 12行，每行10点 |
| 187 | sqrt(193)/12 | (24,14,1) | 15行，12/13交替，首末12 |
| 188 | sqrt(193)/12 | (24,14,0) | 15行，13/12交替，首末13 |
| 270 | sqrt(1130)/29 | (29,17,0) | 18行，每行15点 |
| 304 | sqrt(1285)/31 | (31,18,0) | 19行，每行16点 |

此表是本稿证明及计算证书的结论，仍保留上述自审而非独立审阅的状态。
尤其 52、187、188 的同值现在不只是族内公式给出相同上界：在本判据下，
它们各自的所有点集都受到相同的下界约束。

另外两个进入小差距区间的参数 n=367、368 没通过本判据的行投影步骤，
因此**不在已解决列表中**。没有把失败解释为其构造不是最优。

## 2. 统一的局部条件

设已有 n 点可行构造，其连续分数为 U，且

    2/sqrt(3) < U <= 1.160182,
    U-2/sqrt(3) <= E <= .005481.

对于任意 M<=U 的竞争点集，定义 delta,h 如 N=52 稿。取严格界

    d0 < delta < D,
    d0 = 2/(U sqrt(n*pi)),
    D = 1/(sqrt(n*pi)/2-1),

实际计算 d0、D 向外取界，所以可使用严格不等式。分别来自覆盖圆面积和
分离圆盘面积。要求 UD/2<1/4，且

    w = floor(1/(UD))+1 >=4.

于是至少有内部 Voronoi 顶点，每墙至少 w 个站点，M>=2/sqrt(3)。

令

    beta=3E/2,  kappa=6 beta,
    A=pi/30+12 beta,
    alpha=2pi/15-8 beta,
    B=U(sqrt(3)/2+beta),
    S=sqrt(U^2-1).

N=52 稿第2--4节的局部证明在这里原样适用：好三角形角位于
[pi/3-beta,pi/3+2 beta]，边长在[delta,B delta]；K 是平面三角剖分圆盘，
内部度6；四墙模式交替为 S/Z；可令左右 Z、上下 S；S 首末步倾角 <=A。
仅需三条墙步的 S-S 排除，因此 w>=4 足够，并非一定要5。

所有涉及角度的必要严格不等式，在最大 E=.005481、最大 U=1.160182 下
已一次性用有理运算验证，见输出的 `uniformAngleChecks`。它们包括：

* 墙方向锥 <36度、好三角形锐角及内部度6。
* 非角点扇形只能2/3/4块、角点只能1/2块。
* 大/小转角混合的两步正弦和 >U/2。
* S-S 的三步正弦和 >U/2，Z-Z 的角度分离仍正。
* 角点颜色分离、首步方向选择，以及 U*A<1。

这些界随 E、U 变小均不变坏。每个具体 n 的证书也再次检查全部局部条件，
不依赖浮点数的接近判断。

## 3. 不再依赖 n 倍转角的行结构引理

### 3.1 闭环排除与点数无关

第5.1节的等边展开给出一个良定义的坐标映射 Phi，但不要求全局单射。
在选定颜色的路径上，前后边在展开中相对，所以从任意一步起定向后，
每一步都加同一个单位向量 v。因此一条 r 步闭环会要求

    Phi(p)=Phi(p)+r v,

不可能。选色子图的分量全是路径，端点位于左右 Z 墙站点；不存在内部
孤立顶点或分支。这比按总转角排除闭环更强，不带 nE 限制。

### 3.2 有限宽度投影屏障

从左墙端点出发，首步相对 +x 的倾角绝对值 <=A，以后每步转角 <=kappa。
假如存在正整数 t 满足

    A+(t-1)kappa < pi/2,                                  (P1)
    d0 * sum_{i=0}^{t-1} cos(A+i kappa) > 1,               (P2)

那么路径不能有 t 步：前 t 步均向右，累计横向位移至少为 (P2) 左侧，超过
正方形宽度1。故它至多 t-1 步，而且这些步全向右。

如果其另一端也属于左墙，最后一步反向看必须是一个向右的入内边，因此
正向到达时应向左，与以上结论矛盾。右墙出发对称处理。所以所有路径都
贯穿左右，并且不交叉、无折返。N=52 稿的第5.3节条带和计数结论继而成立。

这里仅在前 t 步使用角度界，没有先假设路径最终到达右墙，避免循环论证。
已在上下墙上的 S 行直接是墙链，同样满足首步界和以上投影检查。

若找不到这样的 t，但 A+(n-2)kappa<pi/2，也可以使用原来的有限点数论证。
本表七例全部使用 (P1)--(P2)，不需要这个备用条件。

## 4. 已建立行结构后，改用双端估计

一条有 r 步的左右贯穿行，两端步骤都与 +x 方向夹角绝对值 <=A。
第 i 步（i=0,...,r-1）同时可从两端估计：

    |theta_i| <= A+kappa min(i,r-1-i).

因此它的横向跨度至少 delta H_r，其中

    H_r = sum_{i=0}^{r-1} cos(A+kappa min(i,r-1-i)),
    delta H_r <=1.                                       (H)

角站点到上下 S 墙的距离仍由端点等距三角形给出 <=delta(S+A)/2。
Z 墙每一步的竖向分量 <=B delta cos(alpha)。若共有 k 行，则

    1 <= delta C_k,
    C_k = S+A+(k-1)B cos(alpha).                          (V)

所以只要 H_r>C_k，便排除这种行计数。此外 H_r*d0>1 或 C_k*D<1 也能分别
排除（最终报告中保留所用理由）。与旧版用整行最大倾角乘 r 相比，(H)
没有把中间步骤的最坏界错误地分配给所有步骤。

这一步在整体行组织证明**之后**才使用另一端的约束，不能拿它提前假定
每一行有一个右端点。

## 5. 一般充分判据

在第2节局部条件和第3节投影条件下，所有候选点集均有以下一种行计数：

    A: m_1=...=m_k=m,                  n=km;
    B: m_i 交替为 m,m-1,               n=k(m-1)+ceil(k/2) 或 floor(k/2).

所有 m_i>=2，k>=w，m_1,m_k>=w。枚举这些有限整数表示。
对每种表示，令 r=max(m_i)-1；只要它满足以下任一项即可：

1. r>=t，被投影屏障排除。
2. 第4节的一个严格跨度不等式将其排除。
3. 条带面积下界满足

       1 + (sum_{j=1}^{k-1} 1/(m_j+m_{j+1}-1))^2 >= U^2.

如果**每一种表示**都如此，则任意 M<=U 的点集必有 M>=U，结合已知可行
构造即证明连续最优值为 U。没有通过的表示必须保留为 unresolved，不能
因为数值搜索未找到改进而删除。

面积下界与实际弯曲的行无关，所需墙边区域不重叠已由 N=52 稿第6节的
实际坐标几何证明；证明仅使用 M<sqrt(2)、h<1/4 和墙链结构，不带 n=52 条件。

## 6. n<=400 的完整筛查结果

寻找每个 n 的最佳压缩交错窗口，精确计算 U^2=1+(L/K)^2。
若存在已达到通用下界的窗口，单独分类，不把它当作本次新的非取等结果。
只对 E<=.005481 的压缩候选应用上述判据。

| n | 每墙最少站点 w | 禁止的行步数 t | 投影超过1的有理下界余量 |
|---|---:|---:|---:|
| 52 | 5 | 8 | >.0447695 |
| 99 | 7 | 12 | >.0282415 |
| 120 | 8 | 12 | >.0559691 |
| 187 | 10 | 16 | >.0584368 |
| 188 | 10 | 16 | >.0556180 |
| 270 | 12 | 21 | >.0064443 |
| 304 | 13 | 19 | >.0219656 |

作为具体例子，n=99 的墙计数之后只剩 A(9行×11点) 和 A(11行×9点)。
前者使用双端投影给出 H_10-C_9>1.11886，被排除；后者的面积下界是
M^2>=1+(10/17)^2=389/289，恰等于构造。

n=270 的剩余拉伸表示 A(15行×18点) 同理有 H_17-C_15>1.97416。
其余表示或被行步数屏障排除，或面积下界已足够。

19..400 共382个 n 的状态：

* 7个通过本判据。
* 26个有达到通用下界的窗口，不计为本次非取等结果。
* 2个在行投影处 unresolved：367、368。
* 339个最佳压缩候选超出本次局部角度范围。
* 8个在所枚举的每行至少2点表示中无压缩候选。

最后三类都不是“不可能证明”或“必须倾斜”的结论。

## 7. 可复核证书与程序测试

```text
python tools/research-p56-row-criterion-2026-09-08.py
npx tsx tools/research-p56-row-criterion-candidates-2026-09-08.ts
```

输出：

* `p56-row-criterion-to-400-2026-09-08.json`：每个候选的严格包络、整数表示、
  排除理由以及未解决状态。
* `p56-row-criterion-candidates-2026-09-08.json`：七个构造的九位小数坐标及
  精确几何核分数。n<=120 同时调用提交验证器；更大的 n 仅调用未修改的
  精确几何核，因为现有提交验证器限制 n<=120。未绕过线上规则提交。

算术全部用 Fraction：

* pi 的24位上下界由 Machin 恒等式与 arctan 有理交错级数验证。
* 平方根以整数平方根产生上下界。
* sin 用三次 Taylor 下界，cos 用六次下界/四次上界，区间分别限制在
  [0,1]、[0,2]，由交错级数余项符号保证。
* A、B 计数枚举与另一份直接生成所有行串的低效枚举在 n=19..400 逐一比对。
* 所有排除使用严格有理比较，最终面积界使用精确有理平方比较。
* 七个圆整证书均不低于所称连续最优值，并在 M^2 上偏差 <10^-6。

数学证明不是由有限采样代替：有限枚举穷尽的是已由结构引理证明的所有
整数类型，而连续自由度由统一不等式处理。

## 8. 研究意义与尚未解决的范围

这给出的是一个可复用、可失败的充分判据，而非“网格看起来很规律”的
启发式分组。它允许真实行弯曲，并不要求将优化点集拟合成严格直线。

与旧的 nE 累计转角限制相比，(P2) 的尺度由 d0~1/sqrt(n) 与
kappa~E 的竞争决定，更接近 E sqrt(n) 的限制；这只是解释判据的尺度，
不是从中宣称固定比例的 n 都会通过，或无条件渐近定理。

367、368 的失败说明当前方法仍有边界。下一步若继续，应改善全局行组织的
几何界，而不是在尚未证明左右贯穿时使用双端估计。当前结果也没有处理
n=13、19 等远离通用下界的倾斜松弛构型。