本题n=2，4，8，12，18，24，32，40时的证明

这份投稿需要分两部分处理。n=2、8、18、32 的满铺面积论证成立，采纳：每块骨牌面积为 2，所以容器边长 L 必须满足 L²≥2n；当 n=2k² 时，k 行、每行 2k 块的排布正好铺满边长 2k 的正方形，达到下界。 这四个子题将按已有最优性机制关闭，取等构型保留 Friedman 的来源；同一面积论证记一笔 +2 证明贡献分，不按四个 n 重复发放。 但 n=4、12、24、40 不能用“当前只剩一块空隙、不能继续放大”证明全局最优，因为还没排除重新旋转、错位和换一种整体排布。它们暂时继续开放，不把这个局部观察当作全局下界。 完整说明正在发布检查中：https://minmaxarena.com/proofs/discussion-results-2026-09-18#p90 。谢谢指出可以直接由面积解决的一组子题。

【P90】n = 3, 4, 7, 11, 12, 17, 23, 24 的最优性证明：归约到单位正方形装正方形 结论：s(3) = s(4) = 3，s(7) = 4，s(11) = s(12) = 5，s(17) = 6，s(23) = s(24) = 7。 （本站 radius 即 1/3, 1/3, 1/4, 1/5, 1/5, 1/6, 1/7, 1/7。） 一、关键观察（初等，且对任意旋转成立） 1×2 骨牌就是两个 1×1 正方形沿长边中缝拼起来的。所以，把 n 块骨牌在边长 s 的正方形里的任意摆放（位置任意、旋转任意、互不重叠）沿每块骨牌的中缝切开，立刻得到 2n 个 1×1 正方形，它们仍在同一个边长 s 的正方形内，且两两内部不相交（同一块骨牌的两半只共一条线段；不同骨牌的两半分别含于两块内部不相交的骨牌中）。 于是 s_dom(n) >= s_sq(2n) (1) 其中 s_sq(N) 是 Friedman 意义下的 s(N)：N 个单位正方形（允许任意旋转）装进的最小正方形边长。 这一步不是面积论证：它没有假设任何朝向，也没有"重新排列/错位"的问题——正方形摆放是由给定骨牌摆放直接细分出来的，不移动任何东西。 二、上界（显然的格子构造） 令 m = ceil(sqrt(2n))，d = m^2 - 2n。在 m×m 单位格中取 2n 格并用骨牌铺满即可，d = 1, 2, 3 的铺法如下（行号 1..m，列号 1..m）： d = 2（m 偶）：前 m-2 行按行对 (1,2),(3,4),...,(m-3,m-2) 用竖骨牌铺满，共 m(m-2)/2 块；最后两行在列 1..m-1 放 m-1 块竖骨牌。合计 (m^2-2)/2 = n。 d = 1（m 奇）：前 m-1 行按行对铺满，共 m(m-1)/2 块；第 m 行在列 1..m-1 放 (m-1)/2 块横骨牌。合计 (m^2-1)/2 = n。 d = 3（m 奇）：同上，但第 m 行只放 (m-3)/2 块横骨牌。合计 (m^2-3)/2 = n。 所以 s_dom(n) <= m。 三、下界（引用已证明的单位正方形结果） 下面 8 个 2n 恰好落在已证明的 s_sq 精确值上： n=3 2n=6 m=3 s(6)=3 Kearney-Shiu, EJC 9(1) #R14 (2002) n=4 2n=8 m=3 s(8)>=s(7)=3 Kearney-Shiu（同文证明 s(6)=s(7)=3）+ 单调性 n=7 2n=14 m=4 s(14)=4 Friedman, EJC DS7 (2009), 第 5 节 n=11 2n=22 m=5 s(22)=5 Bentz, arXiv:1606.03746v2 (2018) n=12 2n=24 m=5 s(24)>=s(22)=5 Bentz 2018 + 单调性（Friedman DS7 亦直接证 s(24)=5） n=17 2n=34 m=6 s(34)>=s(33)=6 Bentz 2018（该文证 s(33)=6）+ 单调性 n=23 2n=46 m=7 s(46)=7 Bentz, EJC 17(1) #R126 (2010) n=24 2n=48 m=7 s(48)>=s(46)=7 Bentz 2010 + 单调性 单调性 s_sq(N) <= s_sq(M)（N <= M）只需删正方形即可；配合 2n <= m^2 的格子构造就得到等号。所有被引用的定理都是"单位正方形、任意旋转"的版本，正好覆盖骨牌问题的旋转自由度。 四、不主张的部分（重要） n = 31（2n=62）和 n = 40（2n=80）需要 s(62)=8、s(80)=9，目前只来自 Nagamochi（EJC 12 #R37, 2005）的 s(k^2-2)=s(k^2-1)=k。但 Karakus（arXiv:2609.37410, 2026-09-29）给出了该文 Lemma 1 中 scoring 断言的反例，并指出矩形界的已发表证明不完整（未推翻界本身；该文只恢复了 s(k^2-1)=k）。按本证明采用的严格标准，这两个子题我不主张，建议继续开放，等 k^2-2 族被重新证明。 同样不主张：n = 6, 10, 15, 16, 21, 22, 28, 29, 30, 36, 37, 38, 39。这些 2n 对应的 s_sq(2n) = ceil(sqrt(2n)) 本身尚未被证明，归约给不出下界。 五、一致性检查（不是证明，只是检验） 用本站已存的最优骨牌值与 Ellsworth 表的最优正方形值，验证 (1) 在开放子题上也成立，例如： n=5: 3.767766952 >= s(10)=3.707106781 n=14: 5.828427236 >= s(28)=5.824444617 n=27: 7.951243484 >= s(54)=7.846667193 n=35: 8.950346103 >= s(70)=8.881666757 （12 组全部成立，多数为严格不等式。） 六、说明 取等构型都是 Friedman "Dominoes in Squares" 页上已有的平凡格子摆放，不主张新构型；下界全部来自上述已发表定理。归约 (1) 是初等的，我不主张它是新发现，但据我所知骨牌文献里没有明确写出。本证明没有使用任何数值搜索或数值优化。 关于 9 位小数：1/3、1/6、1/7 无法用 9 位小数精确表示，所以本站存的 radius 0.333333333 / 0.166666666 / 0.142857142 对应显示值 3.000000004 / 6.000000025 / 7.000000043；精确最优值是 3 / 6 / 7，且不可能有更好的证书。 英文完整版（含全部引文与细节）另附，可按需发布。

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