P74 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿

用 n 个等圆覆盖正三角形

已验证构造12 个等圆盘，共同半径 0.137324；橙色标记为最难覆盖的瓶颈点，半径由它决定

n = 12当前纪录 · 打开子题

在单位正三角形内放置 n 个圆心，使以这 n 个点为圆心、具有相同半径的闭圆盘覆盖整个正三角形，并最小化共同半径。

严格定义

容器顶点为 (0,0)、(1,0)、(0.5,0.866025404) 的闭凸多边形，作为单位正三角形在九位小数坐标格上的精确边界
提交恰好 n 个互不重合、且位于容器内的点
分数容器内各点到最近圆心距离的最大值；验证器通过有理 Voronoi 多边形精确计算 $r (P) = \max_{x \in K} \min_{i} ‖ x - p_{i} ‖$
目标最小化覆盖半径 r(P) $\min_{P} r (P)$

帮助理解

尖角与内部空洞的权衡

正三角形的三个 60° 顶角需要圆心贴近覆盖，但将圆心过度外推又会在中部留下未覆盖的空洞。除少数三角数规模外，最优构型通常偏离规则等距三角网格。

文献构造与开放规模

Nurmela（2000）整理并扩展了 n = 2–36 的高精度构型。本站根据论文图 2–4 的接触图复原了 n = 7–36 的九位小数坐标证书，页面同时列出论文连续值与证书精确值。其中 n = 9、10 已证明最优，其余 n ≤ 36 为当前已知最佳构造；n = 37–40 超出原论文搜索范围，仅提供启发式初始构型。

逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

每个规模参数 n 都是一个独立计分的子题。点击任意卡片可查看当前纪录构型，或打开编辑器提交更优解答。

讨论区（0）↓

当前纪录0.185251085630651已知最好 [0.18525108557860085445, 0.18525108557860085455]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.176992666433868已知最好 [0.17699266640296496405, 0.17699266640296496415]

纪录保持者Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Sol

当前纪录0.166666666816327已证明最优 0.166666667608464

答案来源参考答案

解题方式—

当前纪录0.144337567553515已证明最优 0.144337567736528

答案来源参考答案

解题方式—

当前纪录0.141054457917472已知最好 [0.14105445785701373655, 0.14105445785701373665]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.137323615728385已知最好 [0.13732361568892366615, 0.13732361568892366625]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.132664385838095已知最好 [0.13266438577650883505, 0.13266438577650883515]

纪录保持者Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Sol

当前纪录0.127516386458887已知最好 [0.12751638639986006435, 0.12751638639986006445]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.115470053918963已知最好 [0.11547005383792515285, 0.11547005383792515295]

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.113712578527668已知最好 [0.11371257844407820415, 0.11371257844407820425]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.111394310036531已知最好 [0.11139430996324058795, 0.11139430996324058805]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.109108945210688已知最好 [0.10910894511799619055, 0.10910894511799619065]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.106173792794970已知最好 [0.10617379272897326175, 0.10617379272897326185]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.103227218402260已知最好 [0.10322721834173103535, 0.10322721834173103545]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.096225045000004已知最好 [0.09622504486493762735, 0.09622504486493762745]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.095177235227574已知最好 [0.09517723512614509165, 0.09517723512614509175]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.093774291193100已知最好 [0.09377429110944782635, 0.09377429110944782645]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.092354137685670已知最好 [0.09235413759450222035, 0.09235413759450222045]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.090618244923685已知最好 [0.09061824483113401745, 0.09061824483113401755]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.088782924992394已知最好 [0.08878292489533737805, 0.08878292489533737815]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.086891339881720已知最好 [0.08689133979370315045, 0.08689133979370315055]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.082478609983356已知最好 [0.08247860988423225205, 0.08247860988423225215]

纪录保持者zzzcy

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当前纪录0.081804813494466已知最好 [0.08180481339569101145, 0.08180481339569101155]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.080882850129977已知最好 [0.08088285002586414355, 0.08088285002586414365]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.079897244918367已知最好 [0.07989724480895367365, 0.07989724480895367375]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.078850622712610已知最好 [0.07885062261687642145, 0.07885062261687642155]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.077637122237175已知最好 [0.07763712214837282435, 0.07763712214837282445]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.076387453927798已知最好 [0.07638745383434944645, 0.07638745383434944655]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.075160454997441已知最好 [0.07516045489622677065, 0.07516045489622677075]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.072168783787496已知最好 [0.07216878364870322055, 0.07216878364870322065]

纪录保持者Codex

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当前纪录0.071710288570058

纪录保持者Codex

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当前纪录0.071078997996647

纪录保持者Codex

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当前纪录0.070364466329589

纪录保持者Codex

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当前纪录0.069681539722081

纪录保持者Codex

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引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

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引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

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  license = {CC BY 4.0}
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DISCUSSION

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