极值竞技场
中/EN
PROBLEM CATALOG

68 个可验证的
数学赛场。

专题装箱问题装箱题族的总入口：题目分类、开放子题、验证方式与可下载数据。
专题覆盖问题覆盖题族的总入口：六个题族、127 个规模、已知构型与可交互编辑器。
可拖动
P93装箱与覆盖
  • 经典问题

正三角形内圆的半径之和

在边长为 1 的正三角形内放 n 个互不重叠的圆，大小随意，使所有半径之和尽可能大。Friedman 的表把它列为“最大化总周长”：总周长是半径之和的 2π 倍。

子题
n = 1–50
目标
最大化 半径之和
可拖动
P92装箱与覆盖
  • 经典问题

单位圆内圆的半径之和

在半径为 1 的圆内放 n 个互不重叠的圆，大小随意，使所有半径之和尽可能大。Friedman 的表把它列为“最大化总周长”：总周长是半径之和的 2π 倍。

子题
n = 1–50
目标
最大化 半径之和
可拖动
P91装箱与覆盖
  • 经典问题

L 形三格骨牌装入正方形

把 n 个由三个单位方格拼成的 L 形三格骨牌装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题
n = 1–40
目标
最小化 容器正方形边长
可拖动
P90装箱与覆盖
  • 经典问题

多米诺骨牌装入正方形

把 n 个1 × 2 的多米诺骨牌装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题
n = 1–40
目标
最小化 容器正方形边长
可拖动
P89装箱与覆盖
  • 经典问题

等腰直角三角形装入正方形

把 n 个直角边为 1 的等腰直角三角形（七巧板的小三角形）装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题
n = 1–24
目标
最小化 容器正方形边长
可拖动
P87装箱与覆盖
  • 经典问题

等圆覆盖圆盘

用 n 个半径为 1 的圆覆盖尽可能大的圆盘，最大化被覆盖圆盘半径。

子题
n = 1–15
目标
最大化 被覆盖圆盘半径
可拖动
P86装箱与覆盖
  • 经典问题

正五边形装入正方形

把 n 个边长为 1 的正五边形装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题
n = 1–28
目标
最小化 容器正方形边长
可拖动
P85装箱与覆盖
  • 经典问题

正方形装入等边三角形

把 n 个边长为 1 的正方形装入等边三角形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器三角形边长。

子题
n = 1–38
目标
最小化 容器三角形边长
可拖动
P84装箱与覆盖
  • 经典问题

等边三角形装入圆盘

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入圆盘，允许接触但内部不能重叠，最小化容器圆半径。

子题
n = 1–35
目标
最小化 容器圆半径
可拖动
P83装箱与覆盖
  • 经典问题

等边三角形装入正方形

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题
n = 1–38
目标
最小化 容器正方形边长
可拖动
P82装箱与覆盖
  • 经典问题

等圆装入正多边形

把 n 个等圆放入中心 (1,1)、外接圆半径 1、首个顶点 (2,1) 的真正正 m 边形，最大化圆半径。

子题
n = 1–120
目标
最大化 圆半径
可拖动
P81装箱与覆盖
  • 经典问题
  • 应用前沿

不规则零件条带排样

一批轮廓各异的工业零件，要从一卷固定宽度的材料上切出来。把它们全部排进条带，只能平移和转 90° 的整数倍，允许接触、不许重叠；占用的长度越短越好。三个子题都是完整的工业实例，不是教程图形的堆砌。

子题
n = 1–3
目标
最小化 占用长度
可拖动
P80极值构型
  • 本站原创

发夹弯里的沙发

画一个沙发，让它穿过一条宽度为 1 的发夹弯走廊：先左转、再左转，中间隔着厚度为 w 的墙；面积越大越好。本站提供可验证的起始构型，等待更大面积的解。

子题
n = 1–8
目标
最大化 沙发面积
可拖动
P78极值构型
  • 经典问题

用 n 个正三角形覆盖圆盘

用 n 个同样大的正三角形盖住单位圆盘；每块可独立平移、旋转和翻转，让共同边长尽可能小。

子题
n = 1–12
目标
最小化 共同边长
可拖动
P77极值构型
  • 经典问题

用 n 个正三角形覆盖正三角形

用 n 个同样大的正三角形盖住单位正三角形；每块可独立平移、旋转和翻转，让共同边长尽可能小。

子题
n = 1–10
目标
最小化 共同边长
可拖动
P76极值构型
  • 经典问题

用 n 个正三角形覆盖正方形

用 n 个同样大的正三角形盖住单位正方形。每块都可以自由平移、旋转和翻转；允许重叠和伸出容器，让共同边长尽可能小。

子题
n = 1–11
目标
最小化 共同边长
可拖动
P75极值构型
  • 本站原创
  • 应用前沿

用 n 个等圆覆盖正五边形

在正五边形中布置 n 个圆心，让覆盖整个容器所需的共同半径尽可能小。

子题
n = 1–29
目标
最小化 覆盖半径
可拖动
P74极值构型
  • 经典问题
  • 应用前沿

用 n 个等圆覆盖正三角形

在单位正三角形中放 n 个圆心，让覆盖整个三角形所需的共同半径尽可能小。

子题
n = 1–34
目标
最小化 覆盖半径
可拖动
P73极值构型
  • 经典问题

用 n 个等圆盖住正方形

在单位正方形里放 n 个点，每个点长出一个同样大的圆盘。要让这 n 个圆盘盖住整块正方形，一处不漏；把这个共同半径压到最小。

子题
n = 1–31
目标
最小化 覆盖半径
可拖动
P72极值构型
  • 经典问题
  • 基线易突破

立方体内的最小四面体体积

在单位立方体内放置 n 个点，最大化任意四点构成的最小四面体体积。

子题
n = 1–12
目标
最大化 最小四面体体积
可拖动
P71极值构型
  • 本站原创
  • 应用前沿
  • 基线易突破

L 形区域内的最优量化

在一个 L 形区域内放 n 个代表点，让到最近代表点的平方距离在整个区域上的积分尽可能小。

子题
n = 1–20
目标
最小化 平方距离积分
可拖动
P70极值构型
  • 经典问题
  • 应用前沿
  • 基线易突破

四相雷达探测码本

雷达五路同时发射，回波混在一起回来。接收器把回波和每一条发射序列逐位对齐去比：对得上，就说明这一路、这个距离上探测到了目标。设计这五条四相序列，让唯一对得上的那次对齐，降低混淆的风险，使得探测的目标是真实的目标。

子题
n = 1–9
目标
最小化 峰值模平方 / 并列数 / 总能量（字典序）
可拖动
P68极值构型
  • 经典问题
  • 应用前沿

球面码：最大化最小角距

在单位球面上放置 n 个方向，让任意两个方向之间最小的夹角尽可能大。

子题
n = 1–17
目标
最小化 最大内积
P67装箱与覆盖
  • 经典问题
  • 应用前沿

周长固定矩形内的可变半径圆

矩形的长宽和每个圆的大小都由你决定：周长固定为 4，最大化 n 个圆的半径之和。

子题
n = 1–28
目标
最大化 半径之和
P66装箱与覆盖
  • 经典问题

最小面积三角形内的单位圆装箱

三角形的形状也由你决定：用面积尽可能小的三角形装下 n 个互不重叠的单位圆。

子题
n = 1–47
目标
最小化 三角形面积
P65极值构型
  • 本站原创
  • 应用前沿

最鲁棒的冗余测量方向

选 n 个测量方向，使任意 d 个幸存方向张成的最小归一化体积尽可能大。

子题
n = 1–11
目标
最大化 最坏子集的归一化体积
P64极值构型
  • 经典问题
  • 应用前沿

最分离的子空间族

在 d 维空间里选 n 个二维子空间（平面），让最接近的一对尽可能远。

子题
n = 1–16
目标
最大化 最小弦距平方
P63极值构型
  • 本站原创
  • 应用前沿

环面上的最优积分点集

在 d 维环面上放 n 个等权采样点，让一类周期函数的最坏积分误差尽可能小。

子题
n = 1–12
目标
最小化 最坏积分误差
P62极值构型
  • 本站原创
  • 应用前沿

任意两列都均匀的采样设计

设计一张 n 行 d 列的采样表，让任意两列画成散点图时都尽可能均匀。

x1 × x2最差
x1 × x3
x1 × x4
x2 × x3
x2 × x4
x3 × x4
子题
n = 1–9
目标
最小化 最差两列的均匀性误差
P61极值构型
  • 经典问题
  • 应用前沿

复射影空间中的码本打包

在 d 维复空间里选 n 个方向，让任意两个的重合度尽可能小。

子题
n = 1–25
目标
最小化 最大重合度 μ
P60极值构型
  • 经典问题
  • 应用前沿

实射影空间中的直线打包

在 d 维空间里选 n 条过原点的直线，让任意两条的夹角尽可能大。

子题
n = 1–32
目标
最小化 最大重合度 μ
P59极值构型
  • 经典问题
  • 应用前沿

超立方体内的最低 L2 星偏差

在 d 维单位超立方体里放 n 个采样点，让所有原点角矩形上的均方分布误差尽可能小。

子题
n = 1–25
目标
最小化 L2 星偏差
可拖动
P58极值构型
  • 经典问题

等边三角形内的最小三角形

在边长 1 的等边三角形内放 n 个点，使任意三点构成的最小三角形尽可能大。

子题
n = 1–10
目标
最大化 最小三角形的面积
可拖动
P57装箱与覆盖
  • 经典问题
  • 基线易突破

正方形内圆的半径之和

在单位正方形内放 n 个互不重叠的圆，大小随意，使所有半径之和尽可能大。

子题
n = 1–30
目标
最大化 半径之和
可拖动
P56极值构型
  • 本站原创
  • 应用前沿
  • 基线易突破

单位正方形内的最均匀采样网格

在单位正方形里放 n 个点，红圈是没被覆盖的最大空洞，蓝线是挨得最近的一对点；让空洞半径与点对间距的比值尽可能小。

子题
n = 1–36
目标
最小化 均匀度 M
可拖动
P55极值构型
  • 经典问题
  • 应用前沿
  • 基线易突破

单位正方形内的最优量化

在一张方形地图上放 n 个复活点。玩家均匀地随机出现在任何位置，然后被送到离他最近的那个复活点；让这段路的平均平方距离尽可能小。

子题
n = 1–25
目标
最小化 平均平方距离
可拖动
P54极值构型
  • 经典问题
  • 应用前沿
  • 基线易突破

单位正方形内的最低星偏差

你有 n 个采样点要铺满一块方形画面。从一角量起的任意一块矩形，占了多少面积，就该分到多少比例的采样点；偏得最厉害的那一块偏了多少，就是你的分数。

子题
n = 1–29
目标
最小化 最大误差 D*
可拖动
P53极值构型
  • 经典问题
  • 应用前沿
  • 基线易突破

最大的小多边形

取 n 个点，两两距离都不超过 1，使它们围成的凸多边形面积尽可能大。

子题
n = 1–13
目标
最大化 面积
可拖动
P52极值构型
  • 经典问题

最远与最近距离之比

放置 n 个点，使最远两点的距离除以最近两点的距离尽可能小。

子题
n = 1–20
目标
最小化 最远与最近距离之比
可拖动
P51极值构型
  • 经典问题

单位正方形里的照明

在单位正方形内放 n 个单位亮度的光源，使正方形内最暗的那一点尽可能亮。

子题
n = 1–34
目标
最大化 最小光强
可拖动
P34极值构型
  • 经典问题

圆盘内的 Riesz 2-能量

在半径 1 的圆内放置 n 个点，使所有点对 1/距离² 之和尽可能小。

子题
n = 1–16
目标
最小化 Riesz 2-能量
可拖动
P33极值构型
  • 经典问题
  • 基线易突破

正方形内的 Riesz 2-能量

在单位正方形内放置 n 个点，使所有点对 1/距离² 之和尽可能小。

子题
n = 1–20
目标
最小化 Riesz 2-能量
可拖动
P32极值构型
  • 本站原创

扇形内的最小三角形

在半径 1 的扇形（四分之一圆）内放 n 个点，使任意三点构成的最小三角形尽可能大。

子题
n = 1–10
目标
最大化 最小三角形的面积
可拖动
P31极值构型
  • 本站原创

扇形内的散点分离

在半径 1 的扇形（四分之一圆）内放 n 个点，使最小两点距离尽可能大。

子题
n = 1–15
目标
最大化 最小两点距离
可拖动
P30装箱与覆盖
  • 经典问题

等圆装入扇形

在半径 1 的扇形（四分之一圆）内放 n 个等圆，使共同半径尽可能大。

子题
n = 1–14
目标
最大化 共同半径
可拖动
P29极值构型
  • 经典问题

三角形容器内的 Heilbronn 问题

在直角三角形 (0,0)、(size,0)、(0,size) 内放置 n 个点，最大化任意三点构成的最小三角形面积。

子题
n = 1–6
目标
最大化 最小三角形的面积
可拖动
P28极值构型
  • 本站原创

圆环内的最小三角形

在外半径 1、内半径 0.5 的圆环内放 n 个点，使任意三点构成的最小三角形尽可能大。

子题
n = 1–10
目标
最大化 最小三角形的面积
可拖动
P26极值构型
  • 本站原创

半圆内的最小三角形

在半径 1 的半圆内放 n 个点，使任意三点构成的最小三角形尽可能大。

子题
n = 1–10
目标
最大化 最小三角形的面积
可拖动
P25极值构型
  • 本站原创

十字形内的最小三角形

在一个十字形区域内放 n 个点，使任意三点构成的最小三角形尽可能大。

子题
n = 1–10
目标
最大化 最小三角形的面积
可拖动
P24极值构型
  • 本站原创

L 形内的最小三角形

在 L 形区域内放 n 个点，使任意三点构成的最小三角形尽可能大。

子题
n = 1–10
目标
最大化 最小三角形的面积
可拖动
P22极值构型
  • 经典问题

圆盘内的最小三角形

在半径 1 的圆内放 n 个点，使任意三点构成的最小三角形尽可能大。

子题
n = 1–10
目标
最大化 最小三角形的面积
可拖动
P21极值构型
  • 本站原创

十字形内的散点分离

在一个十字形区域内放 n 个点，使最小两点距离尽可能大。

子题
n = 1–17
目标
最大化 最小两点距离
可拖动
P20极值构型
  • 本站原创

半圆内的散点分离

在半径 1 的半圆内放 n 个点，使最小两点距离尽可能大。

子题
n = 1–15
目标
最大化 最小两点距离
可拖动
P19极值构型
  • 本站原创

L 形内的散点分离

在 L 形区域内放 n 个点，使最小两点距离尽可能大。

子题
n = 1–17
目标
最大化 最小两点距离
可拖动
P18装箱与覆盖
  • 经典问题
  • 基线易突破

可倾斜等正方形装入单位正方形

在单位正方形内放 n 个小正方形，大小完全一样，每个都可以任意转角度；让这个共同的边长尽可能大。

子题
n = 1–28
目标
最大化 最小边长
可拖动
P17极值构型
  • 本站原创

长方形内的散点分离

在 2 × 1 的长方形内放 n 个点，使最小两点距离尽可能大。

子题
n = 1–17
目标
最大化 最小两点距离
可拖动
P16极值构型
  • 经典问题

直角三角形内的散点分离

在直角边为 1 的等腰直角三角形内放 n 个点，使最小两点距离尽可能大。

子题
n = 1–15
目标
最大化 最小两点距离
可拖动
P13装箱与覆盖
  • 经典问题

半径成等差的圆装入正方形

把半径依次为 1,2,…,n 的 n 个圆按真实比例互不重叠地放进一个正方形，使正方形边长尽可能小。

子题
n = 1–29
目标
最小化 正方形边长
可拖动
P12装箱与覆盖
  • 经典问题

2:1 长方形内的等圆装箱

在 2×1 的长方形内放置 n 个互不相交的等圆，使共同半径尽可能大。

子题
n = 1–10
目标
最大化 共同半径
可拖动
P11装箱与覆盖
  • 经典问题

直角三角形内的等圆装箱

在直角边为 1 与 0.75 的固定直角三角形内放置 n 个互不相交的等圆，使共同半径尽可能大。

子题
n = 1–11
目标
最大化 共同半径
可拖动
P10装箱与覆盖
  • 本站原创

等圆装入十字形

在一个十字形区域内放 n 个等圆，使共同半径尽可能大。

子题
n = 1–16
目标
最大化 共同半径
可拖动
P09装箱与覆盖
  • 经典问题

等圆装入半圆

在半径 1 的半圆内放 n 个等圆，使共同半径尽可能大。

子题
n = 1–14
目标
最大化 共同半径
可拖动
P08装箱与覆盖
  • 经典问题

等圆装入 L 形

在一个 L 形区域内放 n 个等圆，使共同半径尽可能大。

子题
n = 1–15
目标
最大化 共同半径
可拖动
P06装箱与覆盖
  • 经典问题

半径成等差的圆装入圆

把半径依次为 1,2,…,n 的 n 个圆按真实比例互不重叠地放进一个圆，使容器半径尽可能小。

子题
n = 1–200
目标
最小化 容器半径
可拖动
P05装箱与覆盖
  • 经典问题

可倾斜等正方形装入圆

在半径 1 的圆内放 n 个正方形，大小完全一样，每个都可以任意转角度；让这个共同的边长尽可能大。

子题
n = 1–38
目标
最大化 最小边长
可拖动
P03极值构型
  • 经典问题

Heilbronn 最小三角形面积

放置 n 个点，最大化任意三点构成的最小三角形面积。

子题
n = 1–12
目标
最大化 最小三角形面积
可拖动
P02装箱与覆盖
  • 经典问题
  • 基线易突破

单位圆内的等圆装箱

在单位圆内放置 n 个互不相交的等圆。

子题
n = 1–300
目标
最大化 共同半径
可拖动
P01装箱与覆盖
  • 经典问题

单位正方形内的等圆装箱

放置 n 个等圆，使共同半径尽可能大。

子题
n = 1–300
目标
最大化 共同半径

已冻结的题目

这些题目不再接受提交，原因写在每一项下面。纪录与署名保留为历史，自 2026-10-04 起不计贡献值。

P27 · 圆环内的散点分离

2026-08-27 起冻结 · 疑似与当年把等圆逐出圆环的退化是同一种：这么窄的环带，可能让均匀分布的同心环在一整段 n 上可证明最优。审计期间先下架。

P07 · 圆内的散点分离

2026-08-28 起冻结 · 与 P02（圆内装等圆）是同一道题：半径 r 的装箱与最小间距 d 之间是严格单调的双射 d = 2r/(1 − r)，一侧的解直接换算成另一侧的解。目录里只保留装箱那一侧，因为文献引用的是它。

P15 · 单位正方形内的散点分离

2026-08-28 起冻结 · 与 P01（正方形内装等圆）是同一道题，换算关系是 d = 2r/(1 − 2r)。Specht 的表把这两个量放在同一张表的两栏里，本身就说明了这一点。目录里只保留装箱那一侧。