P18 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 基线易突破

可倾斜等正方形装入单位正方形

文献中也称squares in squarespacking unit squares in a squaretilted square packing

在单位正方形里放 n 个大小完全一样的小正方形，每个都可以任意旋转且互不重叠，让它们的共同边长尽可能大。

严格定义

容器单位正方形 [0, 1] × [0, 1]，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)
提交每个正方形表示为 {cx, cy, ux, uy}：中心坐标 (cx, cy) 与一条半边向量 (ux, uy)，另一条正交半边向量固定为 (−uy, ux)
约束每个正方形可任意旋转，且完全位于单位正方形内；任意两个正方形内部不重叠，允许边界接触。公开指标取所有正方形中的最小边长
目标最大化共同边长（验证器在内部通过精确比较边长平方来判定高低）

帮助理解

倾斜排布如何节省空间

当 n 不是完全平方数时，与坐标轴平行的网格排布往往会留下无法利用的条状余隙。允许正方形旋转后，部分正方形可以斜嵌在余隙中以腾出空间；例如 n = 5 的最优构型就是在四个正放的正方形中央嵌入一个旋转 45° 的正方形。

已知证明与开放前沿

这是经典的正方形装箱问题（文献常记最小容器边长为 s(n)）：n = 3, 4, 6..9, 14..16, 25 的最优解已获得数学证明（Göbel、Kearney–Shiu 等），其余规模仍处于开放状态。Erich Friedman 的 squares 综述持续汇总该问题族的最新构造。

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逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

每个规模参数 n 都是一个独立计分的子题。点击任意卡片可查看当前纪录构型，或打开编辑器提交更优解答。

讨论区（3）↓

当前纪录1/2

已达最优

答案来源Erich Friedman's Math Magic

当前纪录1/2

当前纪录0.369398062已证明最优 (4 − √2)/7

难

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录0.333333332已证明最优 1/3

答案来源参考答案

解题方式—

当前纪录0.333333332已证明最优 1/3

答案来源参考答案

解题方式—

当前纪录0.333333332已证明最优 1/3

答案来源参考答案

解题方式—

当前纪录0.333333332已证明最优 1/3

答案来源参考答案

解题方式—

n10

当前纪录0.269752142已证明最优 (6 − √2)/17

难

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

n11

当前纪录0.257925828已知最好 [0.2579258285, 0.2579258295]

难

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

n12

当前纪录0.25已知最好 1/4

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman's Math Magic

解题方式公开参考构造

n13

当前纪录0.25已知最好 1/4

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman's Math Magic

解题方式公开参考构造

n14

当前纪录1/4

已达最优

答案来源Erich Friedman's Math Magic

解题方式公开参考构造

n15

当前纪录1/4

已达最优

答案来源Erich Friedman's Math Magic

当前纪录1/4

当前纪录0.21387949已知最好 [0.2138794905, 0.2138794915]

难

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

n18

当前纪录0.207345174已知最好 [0.2073451745, 0.2073451755]

难

纪录保持者张子周

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n19

当前纪录0.204682392已知最好 [0.2046823915, 0.2046823925]

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n20

当前纪录0.2已知最好 1/5

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman's Math Magic

解题方式公开参考构造

n21

当前纪录0.2已知最好 1/5

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman's Math Magic

解题方式公开参考构造

n22

当前纪录0.2已知最好 1/5

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman's Math Magic

解题方式公开参考构造

n23

当前纪录0.2已知最好 1/5

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman's Math Magic

解题方式公开参考构造

n24

当前纪录0.2已知最好 1/5

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman's Math Magic

解题方式公开参考构造

n25

当前纪录1/5

已达最优

答案来源Erich Friedman's Math Magic

解题方式公开参考构造

n26

当前纪录0.177894148已知最好 [0.1778941485, 0.1778941495]

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n27

当前纪录0.17522013已知最好 (10 − √2)/49

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n28

当前纪录0.171690188已知最好 [0.1716901885, 0.1716901895]

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n29

当前纪录0.168525119已知最好 [0.168525115, 0.168525125]

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n30

当前纪录0.166666666已知最好 1/6

难

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/tilted-squares-in-square.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/tilted-squares-in-square.json

BibTeX（点击复制）

@misc{minmaxarena-tilted-squares-in-square-2026-10,
  title  = {{Tilted equal squares in the unit square} (P18)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/tilted-squares-in-square.json},
  license = {CC BY 4.0}
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DISCUSSION

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n=11疑似已证明最优NUE_13#311 条回复10 天前 共同边长输入有些buglird#281 条回复66 天前 我需要共同边长选项!!!lird#282 条回复67 天前