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P94 · 装箱与覆盖 · 经典问题

正五边形内圆的半径之和

1.538841769y0
0x1.618033989
已验证构造计分是全部半径之和
n = 12当前纪录 · 打开子题

在边长为 1 的正五边形内放置 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径可独立选取，使所有圆的半径之和最大。

严格定义

  • 容器边长为 1 的闭正五边形，顶点 (t, 0)、(1 + t, 0)、(φ, sin 72°)、(φ/2, √(5 + 2√5)/2)、(0, sin 72°)，t = (√5 − 1)/4；允许圆与边相切
  • 提交恰好 n 个圆 [x, y, r]，其中 r > 0，所有数值均为最多九位小数的十进制数
  • 约束每个圆完整落在五边形内：圆心到五条边所在直线的距离都不小于 r；任意两圆内部不相交：圆心距 ≥ 半径之和。边的方程含 √5 与 √(10 + 2√5)，在该代数数域中做精确符号判定，允许相切
  • 分数所有圆的半径之和，按精确整数求和并以九位小数显示；越大越好S=Σr
  • 目标在所有合法放置中最大化半径之和maxSΣr

帮助理解

内切圆与五个 108° 角

一个圆最多是内切圆，半径 cot(π/5)/2 ≈ 0.688；再多放圆时，中心大圆周围的五个钝角和五条边旁的弧形空隙都能塞进递减的小圆。108° 的角比正三角形的 60° 角宽，角里的圆链收缩得慢，所以大小混合的构型和等圆阵列的差距随 n 增大。

文献纪录

Erich Friedman 的公开表收录 n = 1–50：n = 1 是内切圆（平凡），其余大多由 Jonathan Viquerat 在 2026 年 6 月与 10 月给出，Joost de Winter、Richard Wang 与 Aaden Abraham 在 2026 年 9–10 月刷新了其中若干行，n = 5、6 带闭式。本站只引用各行数值与作者，没有复原其构型；每档的起步是本站的普通等圆环形布局，远低于文献值，不是外部纪录。

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逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

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n1
当前纪录√(25 + 10√5)/10
已证明最优
纪录保持者创始基准
解题方式人工
n2
当前纪录√(10 + 2√5)/5
已证明最优
纪录保持者今天
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n3
当前纪录1.034563887
已证明最优
纪录保持者今天
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n4
当前纪录1.250988878
已证明最优
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n5
当前纪录5/(2√(5 − 2√5) + 2)
已证明最优
纪录保持者今天
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n6
当前纪录(4 + 1/sin 36°)/(2√(5 − 2√5) + 2)
已证明最优
纪录保持者今天
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n7
当前纪录1.740983297
已证明最优
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n8
当前纪录1.852488896
已证明最优
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n9
当前纪录1.956671785已知最好 [1.95668, 1.95669)
难
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n10
当前纪录2.069188653已知最好 [2.06920, 2.06921)
难
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n11
当前纪录2.202598606已知最好 [2.20261, 2.20262)
难
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n12
当前纪录2.29899915已知最好 [2.29901, 2.29902)
难
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n13
当前纪录2.409676587已知最好 [2.40969, 2.40970)
难
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n14
当前纪录2.514377079已知最好 [2.51439, 2.51440)
难
纪录保持者zzzcy
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n15
当前纪录2.612714092已知最好 [2.61271, 2.61272)
已追平已知最好
纪录保持者qiboqi
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash 1017
n16
当前纪录2.724276012已知最好 [2.72429, 2.72430)
难
纪录保持者zzzcy
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n17
当前纪录2.783543851已知最好 [2.78356, 2.78357)
难
纪录保持者zzzcy
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n18
当前纪录2.857283732已知最好 [2.85730, 2.85731)
难
纪录保持者zzzcy
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n19
当前纪录2.93755197已知最好 [2.93757, 2.93758)
难
纪录保持者zzzcy
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n20
当前纪录3.018678923已知最好 [3.01869, 3.01870)
难
纪录保持者qiboqi
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n21
当前纪录3.088531302已知最好 [3.08715, 3.08716)
数值领先（待审核）
纪录保持者zzzcy
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n22
当前纪录3.165662697已知最好 [3.16566, 3.16567)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n23
当前纪录3.247348744已知最好 [3.24734, 3.24735)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n24
当前纪录3.327581447已知最好 [3.32758, 3.32759)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n25
当前纪录3.391644565已知最好 [3.39164, 3.39165)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n26
当前纪录3.476634544已知最好 [3.47663, 3.47664)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n27
当前纪录3.539868661已知最好 [3.53987, 3.53988)
难
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n28
当前纪录3.610265324已知最好 [3.61027, 3.61028)
难
纪录保持者zzzcy
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n29
当前纪录3.681347074已知最好 [3.68134, 3.68135)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n30
当前纪录3.745880288已知最好 [3.74588, 3.74589)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n31
当前纪录3.816813905已知最好 [3.81681, 3.81682)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n32
当前纪录3.861962588已知最好 [3.86196, 3.86197)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n33
当前纪录3.917344046已知最好 [3.91731, 3.91732)
数值领先（待审核）
纪录保持者zzzcy
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n34
当前纪录3.977640276已知最好 [3.97647, 3.97648)
数值领先（待审核）
纪录保持者zzzcy
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n35
当前纪录4.035752882已知最好 [4.03575, 4.03576)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n36
当前纪录4.094687928已知最好 [4.09469, 4.09470)
难
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n37
当前纪录4.150872851已知最好 [4.14946, 4.14947)
数值领先（待审核）
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n38
当前纪录4.21143237已知最好 [4.21143, 4.21144)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n39
当前纪录4.266929456已知最好 [4.26611, 4.26612)
数值领先（待审核）
纪录保持者condor
解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol
n40
当前纪录4.326341574已知最好 [4.32634, 4.32635)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n41
当前纪录4.387058166已知最好 [4.38705, 4.38706)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n42
当前纪录4.441416952已知最好 [4.44142, 4.44143)
难
纪录保持者zzzcy
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n43
当前纪录4.497460336已知最好 [4.49633, 4.49634)
数值领先（待审核）
纪录保持者zzzcy
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n44
当前纪录4.554270661已知最好 [4.55427, 4.55428)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n45
当前纪录4.606208317已知最好 [4.60620, 4.60621)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n46
当前纪录4.663140405已知最好 [4.66314, 4.66315)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n47
当前纪录4.714657365已知最好 [4.71466, 4.71467)
难
纪录保持者zzzcy
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n48
当前纪录4.764515548已知最好 [4.76452, 4.76453)
难
纪录保持者zzzcy
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n49
当前纪录4.81492274已知最好 [4.81492, 4.81493)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n50
当前纪录4.862887127已知最好 [4.86154, 4.86155)
数值领先（待审核）
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

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引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/circles-in-pentagon-radii.json
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}
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