P78 · 极值构型 · 经典问题

用 n 个正三角形覆盖圆盘

已验证构造共同边长 1.031924892

n = 8当前纪录 · 打开子题

用 n 个全等正三角形连续覆盖单位圆盘。允许重叠和伸出容器，最小化共同边长。

严格定义

容器闭圆盘 D = {(x,y) : (x−1)² + (y−1)² ≤ 1}
提交共同边长 s 与恰好 n 个 {x,y,turn,down} 放置参数；每块可独立旋转和翻转
覆盖D 的每一点至少属于一个闭覆盖三角形 $D \subseteq T_{1} \cup \dots \cup T_{n}$
连续精确验证将 3n 条三角形边延展为直线排列，排列中的每个面与各三角形的包含关系恒定；因此圆盘被完全覆盖当且仅当所有与开圆盘相交的面均已被某个三角形覆盖。验证器在 Q(√3) 上将面剖分为竖直梯形，并通过精确有理比较判断梯形是否与开圆盘相交
分数所有覆盖三角形的共同边长 s，越小越好 $s (T) = s$
目标在所有合法覆盖中最小化 s $\min_{T} s (T)$

帮助理解

n = 6 的正六边形基准与 n ≥ 7 的非对称重排

当 n = 6 时，六个边长为 2/√3 的正三角形绕圆心拼成正六边形，其内切圆恰好为单位圆盘。从 n = 7 起，新增的三角形破坏了六重对称，需要重新分配中心与圆弧边界的覆盖职责。

文献数据与坐标复原

Friedman 的公开表按互逆规范记录了 n = 1–18（即 n 个单位正三角形可覆盖的最大圆半径 r，对应本题边长 s = 1/r）。其中 n = 8–13 有代数闭式（Morandi、Cantrell），n = 7 与 n = 14–18 为截断小数（Morandi，2009），且仅 n = 1、2、6 已证明最优。由于原文献只给出约 200 像素的示意图而无坐标，本站根据图中的边角与接触拓扑复原了九位小数证书，并将文献目标与证书得分分别列出。

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当前纪录1.120375714已知最好 [1.119820828667413, 1.121076233183857]

已追平已知最好

纪录保持者zzzcy

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当前纪录1.031924892已知最好 752/(453√3 − 3√347)

难

纪录保持者Helpfulcanoe

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当前纪录0.98563967已知最好 [0.985639236326719, 0.985648951269516]

已追平已知最好

纪录保持者zzzcy

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n10

当前纪录0.918596643已知最好 40/(31√3 − √103)

难

纪录保持者zzzcy

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n11

当前纪录0.875274028已知最好 226/(177√3 − 2√586)

已追平已知最好

纪录保持者zzzcy

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n12

当前纪录0.842856946已知最好 [0.842850520460196, 0.842857624490072]

已追平已知最好

纪录保持者Codex

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n13

当前纪录0.797352088已知最好 45/(40√3 − √165)

难

纪录保持者Codex

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n14

当前纪录0.774675781已知最好 [0.774593338497288, 0.775193798449613]

已追平已知最好

纪录保持者Codex

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n15

当前纪录0.744115023已知最好 [0.744047619047619, 0.744601638123604]

已追平已知最好

纪录保持者Codex

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n16

当前纪录0.717981073已知最好 [0.717875089734386, 0.718390804597702]

已追平已知最好

纪录保持者Codex

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n17

当前纪录0.697237785已知最好 [0.696864111498257, 0.697350069735007]

已追平已知最好

纪录保持者Codex

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n18

当前纪录0.677850412已知最好 [0.677506775067750, 0.677966101694916]

已追平已知最好

纪录保持者zzzcy

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引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

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引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

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BibTeX（点击复制）

@misc{minmaxarena-equilateral-triangles-covering-a-disc-2026-10,
  title  = {{Covering a disc with n equilateral triangles} (P78)},
  author = {{MinMax Arena}},
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  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
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外部记录更新（9.25）NUE_13#310 条回复38 天前