P78 · 极值构型 · 经典问题

用 n 个正三角形覆盖圆盘

已验证构造共同边长 1.047235397

n = 8当前纪录 · 打开子题

用 n 个全等正三角形连续覆盖单位圆盘。允许重叠和伸出容器，最小化共同边长。

严格定义

容器闭圆盘 D = {(x,y) : (x−1)² + (y−1)² ≤ 1}
提交共同边长 s 与恰好 n 个 {x,y,turn,down} 放置；每块可独立旋转和翻转
覆盖D 的每一点至少属于一个闭覆盖三角形 $D \subseteq T_{1} \cup \dots \cup T_{n}$
连续精确验证把 3n 条边延长成直线，每个面上各三角形的归属恒定，于是圆盘被盖住当且仅当没有一个与开圆盘相交的面是空的。面按竖直条带内的梯形逐一采样，全部算术在 Q(√3) 中；圆只在「梯形是否碰到开圆盘」这一步出现，而那是有理比较。不是像素采样，也没有任何 ε
分数所有覆盖三角形共享的边长 s，越小越好 $s (T) = s$
目标在全部合法覆盖中最小化 s $\min_{T} s (T)$

帮助理解

六块正好，第七块起才有题

六个正三角形绕圆心拼成正六边形，其内切圆恰好是单位圆，边长 2/√3，没有任何余地。从第七块开始，多出来的那块该放哪、其余几块该怎么让开，就没有现成答案了。

前沿在哪里

Friedman 的公开表登记 n = 1–18，用的是倒过来的规范：n 个单位正三角形能盖住的最大圆半径 r，这里的边长 s = 1/r。n = 8–13 有闭式（Morandi、Cantrell），n = 7 与 14–18 只有截断的小数（Morandi，2009）；除 n = 1、2、6 外都没有证明最优。原页只给约 200 像素的小图而没有坐标，本站按图中的水平边、±60° 边和接触关系逐项复原，再用连续精确验证器修掉像素舍入留下的细缝。页面把文献目标和九位复原证书分开显示，复原误差不会被冒充为原作者的数据。

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难

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n10

当前纪录0.932073399已知最好 0.918596641722697

难

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n11

当前纪录0.888565311已知最好 0.875432470252361

难

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n12

当前纪录0.856294952已知最好 0.844006112231242

难

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n13

当前纪录0.809264627已知最好 0.797352086227381

难

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n14

当前纪录0.785385433已知最好 0.775193798449613

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n15

当前纪录0.755638952已知最好 0.744601638123604

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n16

当前纪录0.729117139已知最好 0.718390804597702

难

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n17

当前纪录0.707502586已知最好 0.697350069735007

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n18

当前纪录0.687854879已知最好 0.677966101694916

难

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引用与数据

这一题族的全部子题、权威分数、证明状态、坐标与来源，都在下面这个稳定地址里，以 CC BY 4.0 发布。分数会随纪录变化，引用时请一并记录文件里的 generatedAt。

GET https://minmaxarena.com/data/equilateral-triangles-covering-a-disc.json

引用请指向 2026-08 冻结版：纪录会变，冻结版永远不变，所以引文十年后仍可核对。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-08/equilateral-triangles-covering-a-disc.json

BibTeX（点开复制）

@misc{minmaxarena-equilateral-triangles-covering-a-disc-2026-08,
  title  = {{Covering a disc with n equilateral triangles} (P78)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-08 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-08/equilateral-triangles-covering-a-disc.json},
  license = {CC BY 4.0}
}

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