P76 · 极值构型 · 经典问题

用 n 个正三角形覆盖正方形

已验证构造共同边长 0.707811412

n = 6当前纪录 · 打开子题

用 n 个全等正三角形覆盖单位正方形。每块都可以独立平移、旋转和翻转；允许任意重叠和伸出正方形，使共同边长尽可能小。

严格定义

容器闭单位正方形 K = [0,1] × [0,1]
覆盖物n 个共同边长为 s 的正三角形；每块可以独立平移、任意旋转，并选择第三个顶点位于基准边的哪一侧
提交给出共同边长 s，以及每块正三角形的一条基准边中点、旋转和朝向；恰好提交 n 块
覆盖正方形的每一点至少落在一个闭三角形内；三角形可以重叠，也可以伸出容器 $K \subseteq T_{1} \cup \dots \cup T_{n}$
精确旋转证书用 turn = tan(θ/2) 表示旋转。半角公式令 cos θ 与 sin θ 都是有理数，因此所有顶点和交点都能在 Q(√3) 中精确计算
连续验证验证器枚举三角形边与正方形边形成的平面线段排列，并以代数数竖直扫描严格检查是否存在空洞；不依赖像素或随机采样
分数提交中所有三角形共享的边长 s，越小越好 $s (T) = s$
目标在全部合法覆盖中最小化 s $\min_{T} s (T)$

帮助理解

为什么不是铺砖

正方形角是 90°，正三角形角是 60°；边界角度不兼容，最好的覆盖必须让三角形彼此重叠并伸出四条边。增加一块时，整套接触关系可能重排，而不是简单再接一块。

公开前沿

Friedman 的公开表给出 n = 1–12 的最好已知构型；n = 2 起已经出现非平凡布局，n ≥ 4 还会使用彼此不同的旋转角。本站按图复原构型并用自己的连续覆盖验证器重新验收，而不是只抄数值。

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当前纪录1.366025405已知最好 1.366025403784439

难

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当前纪录1.07735027已知最好 1.077350269189626

难

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当前纪录0.910688928已知最好 0.910683602522959

难

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当前纪录0.804133275已知最好 0.803089950658687

难

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当前纪录0.707811412已知最好 0.707668681701230

难

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当前纪录0.653229052已知最好 0.653129933440798

难

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当前纪录0.599559417已知最好 0.598847943125924

难

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当前纪录0.564748618已知最好 0.564435602013652

难

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n10

当前纪录0.530227833已知最好 0.530011547174745

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n11

当前纪录0.504894626已知最好 0.504527934491533

难

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n12

当前纪录0.479941887已知最好 0.479274057836310

难

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引用与数据

这一题族的全部子题、权威分数、证明状态、坐标与来源，都在下面这个稳定地址里，以 CC BY 4.0 发布。分数会随纪录变化，引用时请一并记录文件里的 generatedAt。

GET https://minmaxarena.com/data/equilateral-triangles-covering-a-square.json

引用请指向 2026-08 冻结版：纪录会变，冻结版永远不变，所以引文十年后仍可核对。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-08/equilateral-triangles-covering-a-square.json

BibTeX（点开复制）

@misc{minmaxarena-equilateral-triangles-covering-a-square-2026-08,
  title  = {{Covering a square with n equilateral triangles} (P76)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-08 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-08/equilateral-triangles-covering-a-square.json},
  license = {CC BY 4.0}
}

DISCUSSION

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