P76 · 极值构型 · 经典问题

用 n 个正三角形覆盖正方形

已验证构造共同边长 0.707668683

n = 6当前纪录 · 打开子题

用 n 个全等正三角形覆盖单位正方形。每块都可以独立平移、旋转和翻转；允许任意重叠和伸出正方形，使共同边长尽可能小。

严格定义

容器闭单位正方形 K = [0,1] × [0,1]
覆盖物n 个共同边长为 s 的正三角形；每块可独立平移、旋转，并选择第三个顶点位于基准边的哪一侧
提交给出共同边长 s，以及每块正三角形的基准边中点、旋转参数和朝向，恰好提交 n 块
覆盖正方形的每一点至少落在一个闭三角形内；三角形允许重叠或伸出容器 $K \subseteq T_{1} \cup \dots \cup T_{n}$
精确旋转证书以有理数 turn = tan(θ/2) 表示旋转。由万有公切参数化，cos θ 与 sin θ 均为有理数，所有顶点和交点均在 Q(√3) 中精确计算
连续验证验证器构建三角形边与正方形边的平面线段排列，并在 Q(√3) 上做精确竖直扫描，检查是否存在未覆盖面
分数所有三角形的共同边长 s，越小越好 $s (T) = s$
目标在所有合法覆盖中最小化 s $\min_{T} s (T)$

帮助理解

60° 与 90° 的边界矛盾

正方形的直角与正三角形的 60° 内角互不匹配，紧凑覆盖通常需要让三角形彼此重叠并伸出四条边界。每增加一块三角形，往往需要重排全局接触关系。

已知最佳构型

Friedman 汇总了 n = 1–12 的已知最佳构型：从 n = 2 起即呈非对称布局，n ≥ 4 时各块常采用不同的旋转角。本站按原图复原了各规模构型，并通过连续覆盖验证器检验其精确边长。

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逐个 n 竞争

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当前纪录1.366025405已知最好 (√3 + 1) / 2

难

答案来源David Cantrell

解题方式公开参考构造

当前纪录1.07735027已知最好 (2√3 + 3) / 6

难

答案来源David Cantrell

解题方式公开参考构造

当前纪录0.910683604已知最好 (√3 + 1) / 3

难

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录0.803089952已知最好 (10√3 + 14) / 39

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.707668683已知最好 (107√3 + 85) / 382

难

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录0.653129935已知最好 4(7√3 + 6) / 111

难

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录0.598847944已知最好 2(12 + 5√3) / 69

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

当前纪录0.564435603已知最好 (139 + 69√3) / 458

难

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

n10

当前纪录0.529463361已知最好 [0.529461907863038, 0.529464711177001]

已追平已知最好

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n11

当前纪录0.504104049已知最好 [0.504103401689754, 0.504105942904961]

已追平已知最好

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n12

当前纪录0.479274059已知最好 (15 − 7√3) / 6

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

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引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

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BibTeX（点击复制）

@misc{minmaxarena-equilateral-triangles-covering-a-square-2026-10,
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  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
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DISCUSSION

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