P76 · 极值构型 · 经典问题 · 难

用 n 个正三角形覆盖正方形 · n = 3

用 n 个全等正三角形覆盖单位正方形。每块都可以独立平移、旋转和翻转；允许任意重叠和伸出正方形，使共同边长尽可能小。

子题n = 3

目标最小化共同边长

纪录对比

共同边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	(2√3 + 3) / 6	见来源署名	Erich Friedman ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器闭单位正方形 K = [0,1] × [0,1]
覆盖物n 个共同边长为 s 的正三角形；每块可独立平移、旋转，并选择第三个顶点位于基准边的哪一侧
提交给出共同边长 s，以及每块正三角形的基准边中点、旋转参数和朝向，恰好提交 n 块
覆盖正方形的每一点至少落在一个闭三角形内；三角形允许重叠或伸出容器 $K \subseteq T_{1} \cup \dots \cup T_{n}$
精确旋转证书以有理数 turn = tan(θ/2) 表示旋转。由万有公切参数化，cos θ 与 sin θ 均为有理数，所有顶点和交点均在 Q(√3) 中精确计算
连续验证验证器构建三角形边与正方形边的平面线段排列，并在 Q(√3) 上做精确竖直扫描，检查是否存在未覆盖面
分数所有三角形的共同边长 s，越小越好 $s (T) = s$
目标在所有合法覆盖中最小化 s $\min_{T} s (T)$

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当前展示：起步布局

已验证构造共同边长 1.077350270

帮助理解

60° 与 90° 的边界矛盾

正方形的直角与正三角形的 60° 内角互不匹配，紧凑覆盖通常需要让三角形彼此重叠并伸出四条边界。每增加一块三角形，往往需要重排全局接触关系。

已知最佳构型

Friedman 汇总了 n = 1–12 的已知最佳构型：从 n = 2 起即呈非对称布局，n ≥ 4 时各块常采用不同的旋转角。本站按原图复原了各规模构型，并通过连续覆盖验证器检验其精确边长。

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是单位正方形 [0,1]²。每个覆盖三角形可以伸出容器；坐标 (x,y) 标记它的一条边的中点。

提交 side 和 triangles。每块记为 {x,y,turn,down}：(x,y) 为一条基准边的中点，turn = tan(θ/2) 编码该边的旋转角 θ，down 指定第三个顶点位于基准边的哪一侧。编辑器会自动换算 turn，所有小数最多九位。

起步布局答案

{
  "side": "1.077350270",
  "triangles": [
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0",
      "y": "1"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "1",
      "y": "1"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.5",
      "y": "0"
    }
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 3
}

起步布局答案

{
  "side": "1.077350270",
  "triangles": [
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0",
      "y": "1"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "1",
      "y": "1"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.5",
      "y": "0"
    }
  ]
}

提交 side 和 triangles。每块记为 {x,y,turn,down}：(x,y) 为一条基准边的中点，turn = tan(θ/2) 编码该边的旋转角 θ，down 指定第三个顶点位于基准边的哪一侧。编辑器会自动换算 turn，所有小数最多九位。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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