容器
从正方形 [0,3] × [0,3] 中挖去四个角上的 1 × 1 正方形。剩下的十字形由中央的单位正方形和四条宽度为 1 的长臂组成。每个圆都必须完整落在这个闭区域内。
构造：半径 1/2 可以达到
把五个圆心分别放在十字形中心和四条长臂的端部：
(1.5, 0.5), (0.5, 1.5), (1.5, 1.5), (2.5, 1.5), (1.5, 2.5).
以这些点为圆心、半径取 1/2，五个圆都完整落在十字形内。任意两个圆心之间的距离至少为 1，所以圆的内部两两不重叠。从中任取两个、三个或四个圆，便得到相应的小参数构造。因此，当 2 ≤ n ≤ 5 时，rₙ ≥ 1/2。
上界第一步：更大圆的圆心不能进入长臂
假设 r > 1/2。若某个圆心 (x,y) 位于下方长臂，则 1 ≤ x ≤ 2 且 0 ≤ y ≤ 1。它到左下、右下两个缺角的距离分别是 x−1 和 2−x。圆要同时避开两个缺角，必须满足
x − 1 ≥ r, 2 − x ≥ r ⇒ 1 ≥ 2r,
这与 r > 1/2 矛盾。其余三条长臂由对称性完全相同。因此，半径大于 1/2 的圆，其圆心只能位于中央单位正方形 [1,2]² 内。
上界第二步：可行圆心区域的直径太小
把中央正方形平移，使其中心成为原点；它变成 [−1/2,1/2]²。设 p=(u,v) 是一个可行圆心，并令 a=|u|、b=|v|。取与 p 位于同一象限的正方形顶点 c。这个顶点紧邻一个被挖去的角，因此圆必须与它至少相距 r：
(1/2 − a)² + (1/2 − b)² ≥ r².
反设 p 到原点的距离也至少为 r，则 a²+b² ≥ r²。把这两个不等式相加，得到
a² + (1/2 − a)² + b² + (1/2 − b)² ≥ 2r² > 1/2.
然而 0 ≤ a,b ≤ 1/2，而且对这个区间内的任意 t，都有 t²+(1/2−t)² ≤ 1/4。因此左边至多等于 1/2，矛盾。于是每个可行圆心都满足 ‖p‖ < r。
对于任意两个可行圆心 p、q，三角不等式给出
‖p − q‖ ≤ ‖p‖ + ‖q‖ < 2r.
两个半径为 r 的圆，如果圆心距离小于 2r，就必然重叠。因此当 r > 1/2 时，这个十字形连两个这样的圆都容纳不了。由此对所有 n ≥ 2 都有 rₙ ≤ 1/2。结合前面的构造，得到 2 ≤ n ≤ 5 时 rₙ = 1/2。∎