问题与记号
记 L 为 [0,2] × [0,2] 挖去右上角开单位正方形后的区域。四个半径同为 r 的闭圆盘必须完整落在 L 内，且内部两两不交。记定理中的根式为 r*；它满足
r* = 0.377016124861494…
(6 + 4√2)r*² − (12 + 4√2)r* + 5 = 0.
用有理数夹住各个根式并平方，可直接得到 0.3770161248 < r* < 0.3770161249。下面几处严格的直径比较也因此都能化为有理数运算，而不依赖浮点近似。
构造：这个半径可以达到
令 t = (1 + √2)r*，取四个圆心
A = (1 − r*, 2 − r*), B = (r*, t),
C = (t, r*), D = (2 − r*, 1 − r*).
A、D 分别同时贴住外边界与凹角的一条边；由于 1 − r* > r*，B、C 与凹角也有足够距离。中间一对满足
|BC| = √2(t − r*) = 2r*.
上面的二次方程恰好等价于 |AB| = |CD| = 2r*。其余三对中，A–C 与 B–D 已在一个坐标方向相差 2 − 2r*，而 |AD| = √2；三个距离都严格大于 2r*。所以四个圆盘确实可行，最优值至少为 r*。
四个圆心被迫落在哪里
四个内部不交的圆盘总面积为 4πr²，不超过 area(L) = 3，因此 r ≤ √(3/(4π)) < 1/2。为证明上界，以下进一步设 r ≥ r*。每个圆心只能落在三个部分之一：上臂 V、右臂 H，或左下方中央正方形 C。上臂是矩形
V = [r, 1 − r] × [1, 2 − r],
而 H 是它关于 x = y 的镜像。二者的直径都是 √((1 − 2r)² + (1 − r)²)；当 r > 3 − √7 时，这个直径严格小于 2r。由于 r* 已超过该阈值，V 与 H 各至多容纳一个圆心。
再沿 x = y 把 C 分成两半。在上半区 y ≥ x；远离凹角 (1,1) 的条件给出 √2(1 − x) ≥ r，因此 x ≤ a(r) = 1 − r/√2。于是这一半的直径至多为
√((1 − r)² + (a(r) − r)²).
在 r* 处，该上界小于 0.718，而 2r* 大于 0.754；并且左侧随 r 增大而减小。镜像的另一半完全相同。因此 C 至多容纳两个彼此相距至少 2r 的圆心。四个圆盘若要存在，就只能是 V 中一个、C 中分居对角线两侧的两个、H 中一个。
唯一存活的分支
把对角线上方的中央圆心记为 B = (x,y)。将对角线下方的另一个中央圆心反射到上方，记反射所得点为 E = (s,t)。二者都满足第二坐标不小于第一坐标，而且都必须与 V 中某个圆心相距至少 2r。对 V 下方的固定点而言，V 中最远的点必是两个上角之一。
把 x ≤ 1/2 的点称为 I 类。它们离得更远的上角是 (1 − r,2 − r)。横向差至多为 1 − 2r，因此要保持 2r 的距离，必有
y ≤ g(r) := 2 − r − √(4r − 1).
II 类则满足 x ≥ 1/2。由凹角距离和 y ≥ x 可得 x ≤ a(r)。两个 II 类点在反射其中一个以后，距离至多为 1/√2，小于 2r*。一对 I–II 混合点的距离至多为
√((1 − r)² + M(r)²),
M(r) = max(g(r) − 1/2, a(r) − r).
M 中的两个量都随 r 增大而减小。在 r* 处，这个距离上界小于 0.746，仍严格小于 2r* > 0.754。因此中央两点既不能包含 II–II 组合，也不能是 I–II 混合组合；B、E 必须同属 I 类。
此时 B、E 的每个坐标都落在 [r,g(r)] 内。把 E 反射回去仍不会离开这个正方形，所以两个实际中央圆心之间的距离至多是它的对角线：
distance ≤ √2(g(r) − r).
解最后一个不等式
不重叠要求 2r ≤ √2(g(r) − r)。当 r > 1/4 时，右侧减去 2r 后严格递减。等号条件为
√(4r − 1) = 2 − (2 + √2)r,
平方后正是 (6 + 4√2)r² − (12 + 4√2)r + 5 = 0。相关区间内唯一的根就是 r*，所以 r ≤ r*。结合前面的构造，最优值恰为 r*。∎
验证器能够记录什么
P08 最多接受九位小数。由于 0.377016124 < r* < 0.377016125，任何合法证书都不可能取得下一档网格值。Cphysics 当前证书的分数为 0.377016124，因此它也是本站整数验证器下不可超越的最优证书。
Cphysics #36 —— 达到上界的构型与当前纪录