目前网站要求圆心坐标最多保留**小数点后九位**，并将实际覆盖半径**向上取整到小数点后十八位**。这可能产生一个现象：【即使提交者已经证明并掌握了精确最优构型，按照网站格式将圆心取成九位小数后，提交成绩仍可能被另一组非最优构型超越。】 （对于固定 n 的单位正方形圆盘覆盖问题，可以证明最优半径是代数数，且存在圆心坐标全为代数数的最优构型，因此原则上可以计算任意多位小数。） 以六圆覆盖单位正方形为例，我已在本地研究项目中给出了最优性证明，此处不展开证明过程。最优半径四舍五入到小数点后三十位为： $$ r_*\approx0.298727062236919158767304868375. $$ 下面比较不同构型。表中两个半径列统一采用**向上取整**： | 构型或参考值 | 半径取到小数点后30位 | 网站18位评分 | |---|---|---| | 精确最优值 | 0.298727062236919158767304868375 | **0.298727062236919159** | | 最优圆心直接取最近的九位小数 | 0.298727062689012762635581728658 | 0.298727062689012763 | | 另一组合法九位构型，严格非最优 | 0.298727062258334602643724804106 | **0.298727062258334603** | | 最优圆心取最近的十八位小数，仍严格非最优 | 0.298727062236919158977937697920 | **0.298727062236919159** | 第三行的真实半径仍大于精确最优值，却比第二行取得更好的网站评分；两组圆心都符合九位坐标限制。第四行进一步说明：真实半径严格大于最优值的构型，也可能与最优值获得相同的十八位评分。**第四行仅作数学对照，其十八位圆心不符合当前提交格式。** 这些半径已用两种不同的精确有理数几何算法核验，检查的是整个单位正方形的连续覆盖，并非有限采样点。 问题在于：圆心取整改变了实际构型，十八位评分记录的是这个近似构型所需的半径。因此，**“精确构型已经证明最优”并不意味着“它取九位圆心后的提交成绩无法被超越”**。此处被改善的是有限小数坐标产生的提交成绩，并没有突破已证明的最优半径。
P73 · 用 n 个等圆盖住正方形 · 讨论
网站提交成绩机制需要改善
具体需要为圆盘坐标以及半径保留多少位有效小数才能避免此问题，并不容易解决，除非事先知道最优半径是多少。此类问题不难证明，所有最有半径皆【代数数】。因此理论上，我们只要提交一个多项式，以及多项式具有唯一正实根的区间(a,b)，那么就可以比较谁提交的才是最好的。因为我们可以就任意两个根，求数值解，看m位有限小数以后，谁的根更好。如果提交者，提交的就是该问题的最优半径，那么这个人可以提交其对应的最小多项式，那么理论上，任何人的提交不可能比这个结果更好，就可以避免网站旧机制的问题。 我在自己的网站【AI模型的圆盘测试：https://pikaaa345.github.io/disk-covering-benchmark/n11.zh.html?lang=zh】当中要求AI模型提交最小多项式就是这个理由。不过据我研究，此类问题即便得到最优半径，如何从多项式方程组当中化简出对应最小多项式，【这个问题再有些情况下，甚至比找到最优半径还要难得多】。
是的，很多到题都遇到这个问题了
但是讨论区貌似站长看不到，发到提交反馈才有用
是能看到的，站长可能有时比较忙