P73 · 极值构型 · 经典问题

用 n 个等圆盖住正方形

已验证构造10 个等圆盘，共同半径 0.218234；标出的那一点是最难够到的位置，半径由它决定

n = 10当前纪录 · 打开子题

在边长为 1 的正方形里放 n 个点。取 r 为正方形里离所有点都最远的那个位置到最近的点的距离，把 r 压到最小。等价地说：用 n 个半径 r 的等圆盘盖住整块正方形，让 r 尽可能小。

严格定义

容器单位正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)，闭区间
提交恰好 n 个点的坐标，十进制小数，最多九位；两点不得重合
分数r(P) 是正方形上「到最近提交点的距离」的最大值。验证器精确求出它的平方，再精确开方并向上取整到 10⁻¹⁸。取整方向朝上，所以存下的数绝不会声称一个比实际更紧的覆盖 $r (P) = \max_{x \in K} \min_{i} ‖ x - p_{i} ‖$
为何有限点在自己的最近邻辖区里就是最近点，而 |x − p|² 是凸的，凸多边形上的最大值必在顶点。于是对连续区域的搜索塌缩成有限个有理顶点的枚举，全程整数运算，不碰浮点
目标在所有合法点集 P 中让 r(P) 尽可能小 $\min_{P} r (P)$

帮助理解

它和填充正好相反

填充禁止重叠，圆会往里缩、躲开边界；覆盖允许重叠，反而必须把圆压进四个角。同样的 n，好的覆盖和好的填充长得完全不一样。

前沿在哪里

网格不是最优解。无限平面上的最优覆盖由 Kershner 在 1939 年解决（正六边形最省），但有边界的正方形会出现完全不同的角落效应。n = 5 与 n = 7 已证明最优；n = 6、8–30 展示的是公开文献中的当前最好构型，仍可能被改进。本站已把 HUT-TCS-A62 的矢量图逐一重建为可验证坐标。n = 31–35 可以挑战，但在找到可公开复现的文献构型前，不冒充已有 SOTA。

逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

每个 n 都是一道独立的子题，各有各的纪录和页面。选择任意一格查看当前构造，或提交更好的答案。

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当前纪录0.326160584140164

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当前纪录0.298727062727013已知最好 0.29872706223691915876

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当前纪录0.274291885508214

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123456789101112

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12345678910111213

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1234567891011121314

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当前纪录0.179661760215522已知最好 0.17966175993333219846

123456789101112131415

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当前纪录0.160639664048191已知最好 0.16063966359715453523

123456789101112131415161718

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当前纪录0.157841982137137已知最好 0.15784198174667375675

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当前纪录0.152246811514529已知最好 0.15224681123338031005

1234567891011121314151617181920

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当前纪录0.148953790115860已知最好 0.14895378955109932188

123456789101112131415161718192021

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当前纪录0.143693177328492已知最好 0.14369317712168800049

12345678910111213141516171819202122

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当前纪录0.141244822774814已知最好 0.14124482238793135951

1234567891011121314151617181920212223

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当前纪录0.138302883737671已知最好 0.13830288328269767697

123456789101112131415161718192021222324

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当前纪录0.133548706993385已知最好 0.13354870656077049693

12345678910111213141516171819202122232425

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当前纪录0.131764875956284已知最好 0.13176487561482596463

1234567891011121314151617181920212223242526

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当前纪录0.128633534696441已知最好 0.12863353450309966807

123456789101112131415161718192021222324252627

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当前纪录0.127317554087931已知最好 0.12731755346561372147

12345678910111213141516171819202122232425262728

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当前纪录0.125553508346551已知最好 0.12555350796411353317

1234567891011121314151617181920212223242526272829

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当前纪录0.122036869354871已知最好 0.12203686881944873607

123456789101112131415161718192021222324252627282930

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当前纪录0.122036869354871

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

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当前纪录0.122036869266692

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

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当前纪录0.122036869153125

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233

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当前纪录0.122036869153125

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334

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1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435

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引用与数据

这一题族的全部子题、权威分数、证明状态、坐标与来源，都在下面这个稳定地址里，以 CC BY 4.0 发布。分数会随纪录变化，引用时请一并记录文件里的 generatedAt。

GET https://minmaxarena.com/data/circles-covering-a-square.json

引用请指向 2026-08 冻结版：纪录会变，冻结版永远不变，所以引文十年后仍可核对。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-08/circles-covering-a-square.json

BibTeX（点开复制）

@misc{minmaxarena-circles-covering-a-square-2026-08,
  title  = {{Covering a square with n equal discs} (P73)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-08 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-08/circles-covering-a-square.json},
  license = {CC BY 4.0}
}

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