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P12 · 装箱与覆盖 · 经典问题

2:1 长方形内的等圆装箱

文献中也称circles in a rectanglepacking equal circles in a 2:1 rectangle

1y0
0x2
已验证构造r = 0.271243444
n = 6当前纪录 · 打开子题

在 2 × 1 的长方形内放置 n 个互不重叠的等圆，使它们的共同半径尽可能大。

严格定义

  • 容器宽 2、高 1 的长方形 [0, 2] × [0, 1]，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (2, 1)
  • 提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心坐标 centers
  • 约束每个圆完全位于长方形内；任意两圆内部不重叠，允许相切
  • 目标最大化共同半径 radius

帮助理解

交错之字层与行转换

在长宽比为 2 : 1 的狭长容器内，小规模时各圆通常交替贴靠上下长边排成之字形链；随着 n 增大，排布会在双层交错、三层蜂窝与局部斜排之间切换。除了完美契合 2 : 1 比例的偶数网格（如 2 × 1 或 4 × 2）外，整齐的轴对齐网格通常会浪费横向或纵向空间。

已知证明与开放前沿

n = 3..6 的最优半径可通过之字形链的初等几何下界严格证明（详见各子题的已知最优说明）；更大的 n 引用 Packomania 的 1 × 0.5 长方形表（本题是它放大两倍，半径也乘 2），表中只列出最优已知值，没有一项标为已证明最优。

逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

小规模子题保留独立详情页与可视化编辑器，便于观察和微调；大规模参数 n 汇总于下方总表，支持直接对比与提交。

讨论区（2）↓
n3
当前纪录3 − √7
已达最优
答案来源参考答案
解题方式公开参考构造
n4
当前纪录(11 − 6√3)/2
已达最优
答案来源参考答案
解题方式公开参考构造
n5
当前纪录9 − 2√19
已达最优
答案来源参考答案
解题方式公开参考构造
n6
当前纪录(27 − 10√7)/2
已达最优
答案来源参考答案
解题方式公开参考构造
n7
当前纪录0.254333094已知最好 [0.254333095030249817754744760427, 0.254333095030249817754744760429]
难
纪录保持者Cphysics
解题方式人工
n8
当前纪录0.25已知最好 1/4
已追平已知最好
纪录保持者SneakyZero
解题方式人工
n9
当前纪录0.221307308已知最好 [0.221307308948735482681310120883, 0.221307308948735482681310120885]
难
纪录保持者Cphysics
解题方式人工
n10
当前纪录0.211566334已知最好 [0.211566335087534700036125194421, 0.211566335087534700036125194423]
难
纪录保持者Cphysics
解题方式人工
n11
当前纪录0.200467024已知最好 [0.200467024723625961423042296809, 0.200467024723625961423042296811]
难
纪录保持者Cphysics
解题方式人工
n12
当前纪录0.192855328已知最好 [0.192855328998602162163227475739, 0.192855328998602162163227475741]
难
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n13
当前纪录0.188284729已知最好 [0.188284729856591172283970907079, 0.188284729856591172283970907081]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n14
当前纪录0.186731677已知最好 [0.186731677332578248940061347889, 0.186731677332578248940061347891]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n15
当前纪录0.182181163已知最好 [0.182181163662410411364913634551, 0.182181163662410411364913634553]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n16
当前纪录0.171910456已知最好 [0.171910456764160004435906211827, 0.171910456764160004435906211829]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n17
当前纪录0.169304761已知最好 [0.169304761101795540758031941835, 0.169304761101795540758031941837]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式人工
n18
当前纪录0.166666666已知最好 1/6
难
纪录保持者NUE_13
解题方式人工
n19
当前纪录0.157764803已知最好 [0.157764803325351654507860626707, 0.157764803325351654507860626709]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n20
当前纪录0.153116972已知最好 [0.153116972779124547200887884033, 0.153116972779124547200887884035]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n21
当前纪录0.150107439已知最好 [0.150107439312725776278415930105, 0.150107439312725776278415930107]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式人工
n22
当前纪录0.146302004已知最好 [0.146302004397457323631433191113, 0.146302004397457323631433191115]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n23
当前纪录0.143973309已知最好 [0.143973309564928455908583019597, 0.143973309564928455908583019599]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n24
当前纪录0.142489255已知最好 [0.142489255829756548651254207669, 0.142489255829756548651254207671]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n25
当前纪录0.140532867已知最好 [0.140532867883790389769830743883, 0.140532867883790389769830743885]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n26
当前纪录0.139850808已知最好 [0.139850808944050801299092440295, 0.139850808944050801299092440297]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n27
当前纪录0.136422442已知最好 [0.136422442282869550870769174795, 0.136422442282869550870769174797]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n28
当前纪录0.134650918已知最好 [0.134650918192363436765398755139, 0.134650918192363436765398755141]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式人工
n29
当前纪录0.130527409已知最好 [0.130527409589304980810387177361, 0.130527409589304980810387177363]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
n30
当前纪录0.12800132已知最好 [0.128001321008206630965787420565, 0.128001321008206630965787420567]
难
纪录保持者NUE_13
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
计算前沿

N = 31–100 总表

表中每一行均为独立计分的子题。外部参考值保留原始文献发表精度；站内提交构型均在九位小数网格上完成精确验证。

N当前纪录外部纪录纪录来源状态

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/circles-in-rectangle.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/circles-in-rectangle.json
BibTeX（点击复制）
@misc{minmaxarena-circles-in-rectangle-2026-10,
  title  = {{Equal-circle packing in a 2:1 rectangle} (P12)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/circles-in-rectangle.json},
  license = {CC BY 4.0}
}
DISCUSSION

讨论区

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本题n=8时用抽屉原理的证明NUE_13#313 条回复好！！！NUE_13#310 条回复