构型来源（如实注明）。本家族提交的圆心，取自 Packomania 编录的 1 × 0.5 长方形等圆装填"最优已知"构型（crc 表，Eckard Specht 编，https://www.packomania.com/crc_500/crc.html），按 x ↦ 2x+1、y ↦ 2y+0.5、r ↦ 2r 映到本题的 2 × 1 长方形。装填本身是已发表的结果，这里只贡献它在竞技场 10⁻⁹ 网格上的精确实现（表中给出约 30 位小数，竞技场只接受 9 位）。构型的功劳属于 Packomania 表。 网格上的精确实现。把所有长度统一放大 10⁹ 倍，全程整数运算：圆心 (X, Y) 能取公共整数半径 R，当且仅当任意一对圆满足 (Xᵢ−Xⱼ)² + (Yᵢ−Yⱼ)² ≥ (2R)²，且每个圆满足 R ≤ min(X, 2·10⁹−X, Y, 10⁹−Y)。因此最大可行 R = min(各圆对的 ⌊isqrt(d²)/2⌋, 四面墙界)。每一步判定都是精确整数运算，证书里不含任何浮点容差。 关键观察：最后一格（1 ulp）。按四舍五入落到最近整格会损失约 0.5–1 ulp，于是 98 个子问题里有 24 个恰好落在 ⌊knownBest·10⁹⌋ 下方 1 格，尽管已发表的最优值本身高于该格。补回这一格的做法：在整数格点上做爬山，以目标 T 的最小化平方亏损为目标函数——圆对取 (2T−d)²，墙面取 (T−w)²。注意墙面阈值是 T，不是 2T。 两者混用会把墙面项放大到约 10¹⁶ 倍，目标函数被墙面支配、搜索会静默失败（我因此白跑了一整轮）。改正后，24 个中有 17 个成功补回。 失败的尝试与遗留。n = 7 的目标 254333095 在最优构型 ±6 ulp 邻域内处处不可达（穷举 + 精确整数判定）。另有五个（n = 30、46、58、82、85）在多种随机种子、扰动策略与 ±2 步长下扛住了约 5×10⁵ 轮下降扫描；它们的目标只比已达成值高 0.002–0.13 ulp，因此很可能就是真正的格点最优。n = 88 与 n = 96 的最后一格同样可补，特意留给其他解题者。 复现。GET https://minmaxarena.com/data/circles-in-rectangle.json 可取得当前纪录与坐标；上面的坐标换算加上精确半径判定，总共约 40 行整数运算。
P12 · 2:1 长方形内的等圆装箱 · 讨论