本题n=2、3、4已达最优的证明

首先等价代换为半径为1的单位圆装入x*0.75x的直角三角形，最小化x，与原题换算关系为原题的倒数。那么此时三角形斜边长为1.25x。此时，由于每个圆半径为1，那么每个圆圆心离每条边的距离都至少为1，由此可以得到一个内缩的直角三角形。经过一些简单的计算，可得这个内缩三角形的两条直角边分别为x-4和3x/4-3，斜边为5x/4-5。此时如两圆相切，那么两圆心之间的距离即为半径1*2=2，也就是不可动的最大距离。有了这些前提，就可以开始分别计算n=2~4的情况了。 n=2：明显此时最大化两个圆心的距离就是斜边的长度5x/4-5。于是有方程5x/4-5=2，解得x=28/5。换算成本站就是5/28，约为0.178571428，为最优。 n=3：假设x<164/25。此时三边分别小于64/25、48/25和16/5。已知最优解圆心距离最小为2。设小于64/25的那条边即底边在x轴，小于48/25的那条边即左边在y轴，两直角边相交点为原点。我们先尝试最小化任意两点的水平距离：因为y轴边长48/25<2，所以最小值肯定>0。而此时左边、斜边即最优解2和最小化的水平距离组成了一个直角三角形，此时由勾股定理解不等式可得最小化的水平距离一定大于14/25。此时底边剩余距离一定小于64/25-14/25=2，即最优解小于2。但由于最优解一定是2，因此x<164/25的假设不成立，即x一定大于等于164/25。另一方面，存在x=164/25且最优值恰好为2的构型：三点分别取(0, 64/25), (0, 14/25), (48/25, 0)，所以最优解x就是164/25。换算过来就是25/164，约等于0.152439024，为最优。 n=4：这题可以使用HwaterB#40以前证P19 n=4的方法的推广。实际上，任何一个直角边为x和y直角三角形都包含于一个由3个0.5a*0.5b的矩形构成的L形内部；而每个L形内的4点最小距离都由三个0.5a*0.5b的矩形给出，即每个矩形的对角线sqrt(a/4+b/4)。如果最小距离大于它，那么每个矩形各自最多放一个，抽屉原理易证放不了四个，所以sqrt(a/4+b/4)自然就是最优。我曾提出满足它的构型有两个，不过其中有一个构型是可以同时被直角三角形包含的。因此任意直角三角形n=4的最优解自然就是sqrt(a/4+b/4)。事实上，它就是直角三角形斜边的一半。带入这里，易列出方程(5x/4-5)/2=2，解得x=36/5。换算过来就是5/36约为0.138888888。 综上所述，n=2、3、4的最优解分别是5/28、25/164、5/36，均为有理数，可精确达到。