P11 · 装箱与覆盖 · 经典问题

直角三角形内的等圆装箱

文献中也称circles in a trianglepacking equal circles in a right triangle

0.75y0

12345

0x1

已验证构造r = 0.122549019

n = 5当前纪录 · 打开子题

在直角边分别为 1 与 0.75 的直角三角形内放置 n 个互不重叠的等圆，使它们的共同半径尽可能大。

严格定义

容器直角顶点位于原点 (0, 0)、两条直角边分别沿 x 轴至 (1, 0) 和沿 y 轴至 (0, 0.75) 的 3-4-5 直角三角形
提交恰好 n 个圆：一个共同半径 radius 与 n 个圆心坐标 centers
约束每个圆完全位于直角三角形内；任意两圆内部不重叠，允许相切
目标最大化共同半径 radius

帮助理解

不等长锐角与非对称接触网

这个 3-4-5 直角三角形的三个内角互不相等，越窄的锐角处圆心离顶点越远、死角面积越大。当圆的半径最大化时，各圆在三条边与两个不等锐角的挤压下形成非对称的接触网络，有时还会在内部空隙留下游离圆。

文献对照与开放状态

边长为 1、0.75、1.25 的 3-4-5 直角三角形在公开文献中尚无专门的等圆装箱数值表（等腰直角三角形等近亲问题可见于 Erich Friedman 的 Packing Center）。NUE_13 #31 的证明（本站补全）确定了 n = 2、3、4 的连续最优半径 5/28、25/164、5/36，这三档保留历史纪录并封盘，不宣称九位小数网格最优；n = 5 起仍开放挑战。

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当前纪录0.096153846

中

123456789

纪录保持者Sigmoid with Codex

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引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/circles-in-right-triangle.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/circles-in-right-triangle.json

BibTeX（点击复制）

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  title  = {{Equal-circle packing in a right triangle} (P11)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/circles-in-right-triangle.json},
  license = {CC BY 4.0}
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DISCUSSION

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本题n=2、3、4已达最优的证明NUE_13#312 条回复10 天前