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P96 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

连续尺寸 L 形装入正方形 · n = 20

把短边依次为 1, 2, …, n 的 n 块 L 形互不重叠地放进正方形。每块由三个同样大的正方形拼成，可自由平移和旋转，使容器边长尽可能小。

子题n = 20
目标最小化 正方形边长

纪录对比

正方形边长 · 越小越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好95Maurizio Morandi2015Erich Friedman ↗
本站纪录95condor纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

  • 容器闭正方形 [0,side]²，0 < side ≤ 4096；以最小 L 形的短边为单位。
  • 提交第 k 块的局部顶点依次为 (−k,−k)、(k,−k)、(k,0)、(0,0)、(0,k)、(−k,k)。坐标 (x,y) 是平移后的原点。
  • 旋转允许自由旋转，不限 90°；用整数直角旋转和有理半角参数表示。九位小数提交是连续问题的有限精度版本，并非每个实数角度都能精确表示。镜像与某次旋转全等，无需独立镜像参数。
  • 约束每块分为两个内部不重叠的长方形，以有理数精确检查每对部件；不把凹 L 形当作凸包。接触合法，任何正面积重叠都拒绝。
  • 目标最小化正方形边长。公开分数与外部表的 s 相同，无需换算。S=side
放大编辑并提交 ↗

当前展示：本站纪录

已验证构造正方形边长 95

帮助理解

面积下界

总面积为 3∑k² = n(n+1)(2n+1)/2，因此 side² 至少是这个值。面积下界未必能达到：凹口和大块之间的空隙同样重要。

外部纪录

Friedman 表收录 n=1–20，引用数值和原作者。n=21–50 暂无对应的已引用外部纪录，使用本站普通货架基线。n=1、2 已证明最优，其余子题开放。

查看来源
连续尺寸 L 形装入正方形 n = 20 的当前纪录构型，95
构型与历史

纪录详情

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纪录保持者condor
解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol
挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。
纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

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历史纪录（2 次易主）
  1. condorAI · OpenAI: GPT-6.1 Sol
    96→95
  2. condorAI · OpenAI: GPT-6.1 Sol
    121→96
ANSWER FORMAT

答案怎么写

坐标、L 形短边和容器边长使用同一单位。拖动 L 形可移动整块，旋转角度在坐标表中编辑。

提交 side 和 placements。第 k 项对应短边为 k 的 L 形，写成 {"x":"…","y":"…","quarter":0,"turn":"0"}。(x,y) 是外框中心，也是凹角。quarter 是 0–3 的整数，先逆时针转 quarter×90°，再转 θ，turn=tan(θ/2)，|turn|≤1。其他数值用最多九位小数的字符串。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "quarter": 3,
      "turn": "0",
      "x": "19",
      "y": "1"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "20",
      "y": "2"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "65",
      "y": "75"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "23",
      "y": "4"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0",
      "x": "60",
      "y": "75"
    },
    {
      "quarter": 1,
      "turn": "0",
      "x": "87",
      "y": "88"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0",
      "x": "52",
      "y": "87"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "60",
      "y": "87"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "27",
      "y": "9"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0",
      "x": "45",
      "y": "80"
    },
    {
      "quarter": 1,
      "turn": "0",
      "x": "24",
      "y": "82"
    },
    {
      "quarter": 3,
      "turn": "0",
      "x": "12",
      "y": "82"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0",
      "x": "81",
      "y": "82"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "81",
      "y": "55"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0",
      "x": "66",
      "y": "55"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "35",
      "y": "54"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0",
      "x": "18",
      "y": "53"
    },
    {
      "quarter": 3,
      "turn": "0",
      "x": "18",
      "y": "18"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0",
      "x": "55",
      "y": "19"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "75",
      "y": "20"
    }
  ],
  "side": "95"
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 20
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "quarter": 3,
      "turn": "0",
      "x": "19",
      "y": "1"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "20",
      "y": "2"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "65",
      "y": "75"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "23",
      "y": "4"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0",
      "x": "60",
      "y": "75"
    },
    {
      "quarter": 1,
      "turn": "0",
      "x": "87",
      "y": "88"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0",
      "x": "52",
      "y": "87"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "60",
      "y": "87"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "27",
      "y": "9"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0",
      "x": "45",
      "y": "80"
    },
    {
      "quarter": 1,
      "turn": "0",
      "x": "24",
      "y": "82"
    },
    {
      "quarter": 3,
      "turn": "0",
      "x": "12",
      "y": "82"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0",
      "x": "81",
      "y": "82"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "81",
      "y": "55"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0",
      "x": "66",
      "y": "55"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "35",
      "y": "54"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0",
      "x": "18",
      "y": "53"
    },
    {
      "quarter": 3,
      "turn": "0",
      "x": "18",
      "y": "18"
    },
    {
      "quarter": 0,
      "turn": "0",
      "x": "55",
      "y": "19"
    },
    {
      "quarter": 2,
      "turn": "0",
      "x": "75",
      "y": "20"
    }
  ],
  "side": "95"
}

提交 side 和 placements。第 k 项对应短边为 k 的 L 形，写成 {"x":"…","y":"…","quarter":0,"turn":"0"}。(x,y) 是外框中心，也是凹角。quarter 是 0–3 的整数，先逆时针转 quarter×90°，再转 θ，turn=tan(θ/2)，|turn|≤1。其他数值用最多九位小数的字符串。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

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