P77 · 极值构型 · 经典问题

用 n 个正三角形覆盖正三角形

Name: P77 — 用 n 个正三角形覆盖正三角形
Creator: MinMax Arena
License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

已验证构造共同边长 0.307692309

n = 11当前纪录 · 打开子题

用 n 个全等正三角形连续覆盖单位正三角形。允许重叠和伸出容器，最小化共同边长。

严格定义

容器闭正三角形 K = conv{(0,0),(1,0),(0.5,√3/2)}
提交共同边长 s 与恰好 n 个 {x,y,turn,down} 放置参数；每块可独立旋转和翻转
覆盖K 的每一点至少属于一个闭覆盖三角形 $K \subseteq T_{1} \cup \dots \cup T_{n}$
连续精确验证验证器在 Q(√3) 中精确计算容器边、覆盖三角形边及全部交点，并通过竖直扫描检验是否完全覆盖
分数所有覆盖三角形的共同边长 s，越小越好 $s (T) = s$
目标在所有合法覆盖中最小化 s $\min_{T} s (T)$

帮助理解

非平方数规模的覆盖结构

仅当 n 为完全平方数时，规则三角网格才能无重叠、无越界地精确铺满正三角形容器。对于非平方数 n，覆盖必须借助局部重叠、旋转或越界来缩减边长，多出一块往往会改变整体分层布局。

已知构型与文献数据

Friedman 的公开表收录了 n = 6–9 与 n = 11–15 的构型；其中 n = 9 由 3 × 3 三角网格达到面积下界，已证明最优。n = 10 暂以 n = 9 的网格加一块冗余三角形作为初始基线。其余规模均由公开示意图复原，并分别列出文献值与九位小数证书值。

查看来源

逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

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讨论区（1）↓

当前纪录0.428571429已知最好 3/7

难

答案来源David Cantrell

解题方式公开参考构造

当前纪录0.400000001已知最好 2/5

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman

解题方式公开参考构造

当前纪录0.375000001已知最好 3/8

已追平已知最好

答案来源David Cantrell

解题方式公开参考构造

当前纪录1/3

已达最优

答案来源area-tight triangular tiling

当前纪录0.307692309已知最好 4/13

难

答案来源Erich Friedman

解题方式公开参考构造

n12

当前纪录0.300000001已知最好 3/10

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman

解题方式公开参考构造

n13

当前纪录0.285714287已知最好 2/7

难

答案来源Erich Friedman

解题方式公开参考构造

n14

当前纪录0.272727274已知最好 3/11

难

答案来源David Cantrell

解题方式公开参考构造

n15

当前纪录0.266666667已知最好 4/15

难

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

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引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/equilateral-triangles-covering-an-equilateral-triangle.json

BibTeX（点击复制）

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  title  = {{Covering an equilateral triangle with n equilateral triangles} (P77)},
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  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
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DISCUSSION

讨论区

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论n=10的最优解hadsajnc#1463 条回复30 天前