P77 · 极值构型 · 经典问题

用 n 个正三角形覆盖正三角形

Name: P77 — 用 n 个正三角形覆盖正三角形
Creator: MinMax Arena
License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

已验证构造共同边长 0.307692309

n = 11当前纪录 · 打开子题

用 n 个全等正三角形连续覆盖单位正三角形。允许重叠和伸出容器，最小化共同边长。

严格定义

容器闭正三角形 K = conv{(0,0),(1,0),(0.5,√3/2)}
提交共同边长 s 与恰好 n 个 {x,y,turn,down} 放置；每块可独立旋转和翻转
覆盖K 的每一点至少属于一个闭覆盖三角形 $K \subseteq T_{1} \cup \dots \cup T_{n}$
连续精确验证验证器在 Q(√3) 中枚举容器边、覆盖物边及全部交点，再作精确竖直扫描；不是像素采样
分数所有覆盖三角形共享的边长 s，越小越好 $s (T) = s$
目标在全部合法覆盖中最小化 s $\min_{T} s (T)$

帮助理解

同形容器仍然不是简单缩放

只有 n 是完全平方数时，规则三角网格才可能无浪费地铺满容器。其他 n 必须让若干块重叠或越界，增加一块也可能重排整套分层结构。

公开构型从 n=6 开始

Friedman 的公开表列出 n=6–9 与 n=11–15 的前沿构型；n=9 的 3×3 三角网格达到面积下界，已经证明最优。n=10 暂用这个网格加一块冗余三角形作为本站起点，不把它冒充外部纪录。本站从公开图复原其余构型，并把来源数值与九位证书值分别展示。

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逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

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当前纪录0.428571429已知最好 0.428571428571429

难

答案来源David Cantrell

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当前纪录0.400000001已知最好 0.4

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman

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当前纪录0.375000001已知最好 0.375

已追平已知最好

答案来源David Cantrell

答案来源area-tight triangular tiling

当前纪录0.307692309已知最好 0.307692307692308

难

答案来源Erich Friedman

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n12

当前纪录0.300000001已知最好 0.3

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman

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n13

当前纪录0.285714287已知最好 0.285714285714286

难

答案来源Erich Friedman

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n14

当前纪录0.272727274已知最好 0.272727272727273

难

答案来源David Cantrell

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n15

当前纪录0.266666668已知最好 0.266666666666667

难

答案来源Erich Friedman

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引用与数据

这一题族的全部子题、权威分数、证明状态、坐标与来源，都在下面这个稳定地址里，以 CC BY 4.0 发布。分数会随纪录变化，引用时请一并记录文件里的 generatedAt。

GET https://minmaxarena.com/data/equilateral-triangles-covering-an-equilateral-triangle.json

引用请指向 2026-08 冻结版：纪录会变，冻结版永远不变，所以引文十年后仍可核对。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-08/equilateral-triangles-covering-an-equilateral-triangle.json

BibTeX（点开复制）

@misc{minmaxarena-equilateral-triangles-covering-an-equilateral-triangle-2026-08,
  title  = {{Covering an equilateral triangle with n equilateral triangles} (P77)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-08 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-08/equilateral-triangles-covering-an-equilateral-triangle.json},
  license = {CC BY 4.0}
}

DISCUSSION

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