P77 · 极值构型 · 经典问题 · 难

用 n 个正三角形覆盖正三角形 · n = 11

用 n 个全等正三角形连续覆盖单位正三角形。允许重叠和伸出容器，最小化共同边长。

子题n = 11

目标最小化共同边长

纪录对比

共同边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	4/13	见来源署名	Erich Friedman ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器闭正三角形 K = conv{(0,0),(1,0),(0.5,√3/2)}
提交共同边长 s 与恰好 n 个 {x,y,turn,down} 放置参数；每块可独立旋转和翻转
覆盖K 的每一点至少属于一个闭覆盖三角形 $K \subseteq T_{1} \cup \dots \cup T_{n}$
连续精确验证验证器在 Q(√3) 中精确计算容器边、覆盖三角形边及全部交点，并通过竖直扫描检验是否完全覆盖
分数所有覆盖三角形的共同边长 s，越小越好 $s (T) = s$
目标在所有合法覆盖中最小化 s $\min_{T} s (T)$

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当前展示：起步布局

已验证构造共同边长 0.307692309

帮助理解

非平方数规模的覆盖结构

仅当 n 为完全平方数时，规则三角网格才能无重叠、无越界地精确铺满正三角形容器。对于非平方数 n，覆盖必须借助局部重叠、旋转或越界来缩减边长，多出一块往往会改变整体分层布局。

已知构型与文献数据

Friedman 的公开表收录了 n = 6–9 与 n = 11–15 的构型；其中 n = 9 由 3 × 3 三角网格达到面积下界，已证明最优。n = 10 暂以 n = 9 的网格加一块冗余三角形作为初始基线。其余规模均由公开示意图复原，并分别列出文献值与九位小数证书值。

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器顶点为 (0,0)、(1,0)、(0.5,√3/2)。坐标标记覆盖三角形一条基准边的中点；覆盖物可以伸出容器。

提交 side 和 triangles，每块记为 {x,y,turn,down}。编辑器支持直接输入或拖动旋转角 θ°，并自动换算为 turn = tan(θ/2)。

起步布局答案

{
  "side": "0.307692309",
  "triangles": [
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.615384615",
      "y": "0"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.153846154",
      "y": "0"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.653846154",
      "y": "0.333086694"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0.5",
      "y": "0.599556049"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.5",
      "y": "0.599556049"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0.730769231",
      "y": "0.333086694"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.384615385",
      "y": "0"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.846153846",
      "y": "0"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0.269230769",
      "y": "0.333086694"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.346153846",
      "y": "0.333086694"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0.5",
      "y": "0.333086694"
    }
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 11
}

起步布局答案

{
  "side": "0.307692309",
  "triangles": [
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.615384615",
      "y": "0"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.153846154",
      "y": "0"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.653846154",
      "y": "0.333086694"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0.5",
      "y": "0.599556049"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.5",
      "y": "0.599556049"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0.730769231",
      "y": "0.333086694"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.384615385",
      "y": "0"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.846153846",
      "y": "0"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0.269230769",
      "y": "0.333086694"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.346153846",
      "y": "0.333086694"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0.5",
      "y": "0.333086694"
    }
  ]
}

提交 side 和 triangles，每块记为 {x,y,turn,down}。编辑器支持直接输入或拖动旋转角 θ°，并自动换算为 turn = tan(θ/2)。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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论n=10的最优解hadsajnc#1463 条回复30 天前