P77 · 极值构型 · 经典问题

用 n 个正三角形覆盖正三角形 · n = 9

用 n 个全等正三角形连续覆盖单位正三角形。允许重叠和伸出容器，最小化共同边长。

子题n = 9

目标最小化共同边长

已证明最优1/3证书可写的最好值 0.333333334Friedman 的公开表给出边长为 1 的正三角形覆盖边长 3.000000000000003 的容器；归一化后共同边长为 1/3 ≈ 0.333333333333333。本站九位复原证书验证到 0.333333334。面积下界达到等号，因此已证明最优。

已完成已经有达到上限的答案，这道子题没有可争的了

严格定义

容器闭正三角形 K = conv{(0,0),(1,0),(0.5,√3/2)}
提交共同边长 s 与恰好 n 个 {x,y,turn,down} 放置；每块可独立旋转和翻转
覆盖K 的每一点至少属于一个闭覆盖三角形 $K \subseteq T_{1} \cup \dots \cup T_{n}$
连续精确验证验证器在 Q(√3) 中枚举容器边、覆盖物边及全部交点，再作精确竖直扫描；不是像素采样
分数所有覆盖三角形共享的边长 s，越小越好 $s (T) = s$
目标在全部合法覆盖中最小化 s $\min_{T} s (T)$

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已验证构造共同边长 0.333333334

帮助理解

同形容器仍然不是简单缩放

只有 n 是完全平方数时，规则三角网格才可能无浪费地铺满容器。其他 n 必须让若干块重叠或越界，增加一块也可能重排整套分层结构。

公开构型从 n=6 开始

Friedman 的公开表列出 n=6–9 与 n=11–15 的前沿构型；n=9 的 3×3 三角网格达到面积下界，已经证明最优。n=10 暂用这个网格加一块冗余三角形作为本站起点，不把它冒充外部纪录。本站从公开图复原其余构型，并把来源数值与九位证书值分别展示。

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当前第一名

0.333333334

共同边长

已达最优最优值已证明，无法再提升

答案来源area-tight triangular tiling

解题方式公开参考构造

最优值已证明，无法再提升

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器顶点为 (0,0)、(1,0)、(0.5,√3/2)。坐标标记覆盖三角形一条基准边的中点；覆盖物可以伸出容器。

提交 side 和 triangles；每块写 {x,y,turn,down}。页面编辑器可直接输入或拖动 θ°，并自动换算 turn = tan(θ/2)。

当前第一名的答案

{
  "side": "0.333333334",
  "triangles": [
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.166666667",
      "y": "0"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.5",
      "y": "0"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.833333333",
      "y": "0"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0.333333333",
      "y": "0.288675135"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0.666666667",
      "y": "0.288675135"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.333333333",
      "y": "0.288675135"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.666666667",
      "y": "0.288675135"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0.5",
      "y": "0.577350269"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.5",
      "y": "0.577350269"
    }
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 9
}

当前第一名的答案

{
  "side": "0.333333334",
  "triangles": [
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.166666667",
      "y": "0"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.5",
      "y": "0"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.833333333",
      "y": "0"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0.333333333",
      "y": "0.288675135"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0.666666667",
      "y": "0.288675135"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.333333333",
      "y": "0.288675135"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.666666667",
      "y": "0.288675135"
    },
    {
      "down": true,
      "turn": "0",
      "x": "0.5",
      "y": "0.577350269"
    },
    {
      "down": false,
      "turn": "0",
      "x": "0.5",
      "y": "0.577350269"
    }
  ]
}

提交 side 和 triangles；每块写 {x,y,turn,down}。页面编辑器可直接输入或拖动 θ°，并自动换算 turn = tan(θ/2)。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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