P22 · 极值构型 · 经典问题

圆盘内的最小三角形

文献中也称Heilbronn triangle problem in a discHeilbronn's problem in a circle

在半径为 1 的圆里放 n 个点，让任意三点围成的最小三角形面积尽可能大。

严格定义

容器半径为 1、圆心位于 (1, 1) 的圆，横纵坐标范围均为 [0, 2]
提交恰好 n 个点 points，任意三点不共线
约束每个点均位于圆内或圆周上
分数A(P) 为所有三点组构成的最小三角形面积（验证器在内部通过精确比较有向面积绝对值 2A(P) 来判定高低） $A (P) = \frac{1}{2} \min_{1 \leq i < j < k \leq n} | \det (p_{j} - p_{i}, p_{k} - p_{i}) |$
目标最大化最小三角形面积 A(P)

帮助理解

圆周正多边形与内部破缺

当点数较少时，将所有点均匀放在圆周上构成正 n 边形即可避免近共线；但随着 n 增大，圆周上相邻三点围成的弓形三角形面积按 1/n³ 迅速衰减，此时必须将部分点移入圆盘内部，并与外周点错开角度以避开近共线三元组。

文献对照与开放前沿

圆盘版 Heilbronn 问题的已知最优数值汇总于 Wolfram MathWorld（部分小规模情形具有代数封闭形式），但目前尚无像单位正方形版那样完整的计算机辅助最优性证明，各规模仍处于开放状态。

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当前纪录0.657163890086059118已知最好 √(5(5 − √5)/2)/4

难

12345

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录0.433012701891298228已知最好 √3/4

难

123456

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录0.2943675263010013505已知最好 [0.2943675263771180045, 0.2943675263771180055]

难

1234567

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录0.216941869489467186已知最好 [0.216941869558779055, 0.216941869558779065]

难

12345678

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录0.1737637524206077925已知最好 [0.173763748337212, 0.173763752508585]

已追平已知最好

123456789

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

n10

当前纪录0.1503837331060307已知最好 [0.15038373318043529645, 0.15038373318043529655]

难

12345678910

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

n11

当前纪录0.113938117339945312已知最好 [0.113, 0.114)

已追平已知最好

1234567891011

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

n12

当前纪录0.1049153827599845435已知最好 [0.104915382696098, 0.104915382840488]

已追平已知最好

123456789101112

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

n13

当前纪录0.085689772555098089已知最好 [0.0856, 0.0857)

已追平已知最好

12345678910111213

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

n14

当前纪录0.0767158855873489425已知最好 [0.0758572510609005, 0.0758572510609015]

数值领先（待审核）

1234567891011121314

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

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引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

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BibTeX（点击复制）

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