P22 · 极值构型 · 经典问题 · 难

圆盘内的最小三角形 · n = 12

文献中也称Heilbronn triangle problem in a discHeilbronn's problem in a circle

在半径为 1 的圆里放 n 个点，让任意三点围成的最小三角形面积尽可能大。

子题n = 12

目标最大化最小三角形的面积

纪录对比

最小三角形的面积 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.104915382696098, 0.104915382840488]	见来源署名	mathworld.wolfram.com ↗
本站纪录	0.1049153827599845435	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

容器半径为 1、圆心位于 (1, 1) 的圆，横纵坐标范围均为 [0, 2]
提交恰好 n 个点 points，任意三点不共线
约束每个点均位于圆内或圆周上
分数A(P) 为所有三点组构成的最小三角形面积（验证器在内部通过精确比较有向面积绝对值 2A(P) 来判定高低） $A (P) = \frac{1}{2} \min_{1 \leq i < j < k \leq n} | \det (p_{j} - p_{i}, p_{k} - p_{i}) |$
目标最大化最小三角形面积 A(P)

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当前展示：本站纪录

2y0

123456789101112

0x2

已验证构造最小的三角形

帮助理解

圆周正多边形与内部破缺

当点数较少时，将所有点均匀放在圆周上构成正 n 边形即可避免近共线；但随着 n 增大，圆周上相邻三点围成的弓形三角形面积按 1/n³ 迅速衰减，此时必须将部分点移入圆盘内部，并与外周点错开角度以避开近共线三元组。

文献对照与开放前沿

圆盘版 Heilbronn 问题的已知最优数值汇总于 Wolfram MathWorld（部分小规模情形具有代数封闭形式），但目前尚无像单位正方形版那样完整的计算机辅助最优性证明，各规模仍处于开放状态。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（5 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.104915382757573373→0.1049153827599845435
2026-09-02
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.1049153827538973805→0.104915382757573373
2026-09-02
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.104915382734942995→0.1049153827538973805
2026-09-02
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.104915382669348686→0.104915382734942995
2026-09-02
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.1049153825280730515→0.104915382669348686
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以坐标范围是 0 到 2。坐标直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "0.5"）。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "1.441154469",
      "0.102568814"
    ],
    [
      "0.815762125",
      "0.017118316"
    ],
    [
      "1.890783209",
      "0.545571486"
    ],
    [
      "1.181845224",
      "0.630076115"
    ],
    [
      "1.556620971",
      "1.830766570"
    ],
    [
      "1.943319445",
      "1.331886162"
    ],
    [
      "0.948155033",
      "1.998655145"
    ],
    [
      "1.229440870",
      "1.342444526"
    ],
    [
      "0.002224560",
      "1.066664616"
    ],
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      "0.240918430",
      "1.650995522"
    ],
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      "0.161061758",
      "0.455773369"
    ],
    [
      "0.588713906",
      "1.027479359"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 12
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "1.441154469",
      "0.102568814"
    ],
    [
      "0.815762125",
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      "1.556620971",
      "1.830766570"
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      "1.998655145"
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      "1.342444526"
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      "1.066664616"
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      "0.240918430",
      "1.650995522"
    ],
    [
      "0.161061758",
      "0.455773369"
    ],
    [
      "0.588713906",
      "1.027479359"
    ]
  ]
}

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "0.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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