P22 · 极值构型 · 经典问题 · 难

圆盘内的最小三角形 · n = 10

文献中也称Heilbronn triangle problem in a discHeilbronn's problem in a circle

在半径为 1 的圆里放 n 个点，让任意三点围成的最小三角形面积尽可能大。

子题n = 10

目标最大化最小三角形的面积

纪录对比

最小三角形的面积 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[0.15038373318043529645, 0.15038373318043529655]	见来源署名	mathworld.wolfram.com ↗
本站纪录	0.1503837331060307	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器半径为 1、圆心位于 (1, 1) 的圆，横纵坐标范围均为 [0, 2]
提交恰好 n 个点 points，任意三点不共线
约束每个点均位于圆内或圆周上
分数A(P) 为所有三点组构成的最小三角形面积（验证器在内部通过精确比较有向面积绝对值 2A(P) 来判定高低） $A (P) = \frac{1}{2} \min_{1 \leq i < j < k \leq n} | \det (p_{j} - p_{i}, p_{k} - p_{i}) |$
目标最大化最小三角形面积 A(P)

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当前展示：本站纪录

2y0

12345678910

0x2

已验证构造最小的三角形

帮助理解

圆周正多边形与内部破缺

当点数较少时，将所有点均匀放在圆周上构成正 n 边形即可避免近共线；但随着 n 增大，圆周上相邻三点围成的弓形三角形面积按 1/n³ 迅速衰减，此时必须将部分点移入圆盘内部，并与外周点错开角度以避开近共线三元组。

文献对照与开放前沿

圆盘版 Heilbronn 问题的已知最优数值汇总于 Wolfram MathWorld（部分小规模情形具有代数封闭形式），但目前尚无像单位正方形版那样完整的计算机辅助最优性证明，各规模仍处于开放状态。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（4 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.150383733095493893→0.1503837331060307
2026-09-02
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.150383733089442281→0.150383733095493893
2026-09-02
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.150383733009803484→0.150383733089442281
2026-09-02
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.150383732939350221→0.150383733009803484
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是半径 1 的圆，圆心在 (1, 1)，所以坐标范围是 0 到 2。坐标直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "0.5"）。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.512220724",
      "1.872966997"
    ],
    [
      "0.065207027",
      "1.355193042"
    ],
    [
      "0.055593351",
      "0.671220315"
    ],
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      "0.487878042",
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    ],
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      "1.159790289",
      "0.012849017"
    ],
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      "1.756934884",
      "0.346509693"
    ],
    [
      "1.999901234",
      "0.985945746"
    ],
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      "1.631957941"
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      "1.982269992"
    ],
    [
      "1.000000000",
      "1.000000000"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 10
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.512220724",
      "1.872966997"
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}

提交点集坐标 points，每个坐标均以十进制字符串表示（如 "0.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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