P29 · 极值构型 · 经典问题

三角形容器内的 Heilbronn 问题

文献中也称Heilbronn triangle problem in a triangle

在顶点为 (0, 0)、(1, 0)、(0, 1) 的直角三角形内放置 n 个点，使任意三点构成的最小三角形面积尽可能大。

严格定义

容器顶点为 (0, 0)、(1, 0)、(0, 1) 的直角三角形，即满足 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ 1 的区域
提交恰好 n 个点 points，任意三点不共线
约束每个点都在三角形内或边界上
分数A(P) 是所有三点组构成的最小三角形面积；验证器在内部按 2A(P) 作精确比较 $A (P) = \frac{1}{2} \min_{1 \leq i < j < k \leq n} | \det (p_{j} - p_{i}, p_{k} - p_{i}) |$
目标最大化 A(P)

帮助理解

难点在哪里

光把点铺匀还不够，关键在于避免任意三点接近共线。整齐对称的排布很容易出现近似共线的三点组，而真正的最优构形往往缺乏对称性，很难凭直觉猜出形状。

研究进展

n = 5, 6 的最优解由 Yang、Zhang 与 Zeng 证明，n = 7 由 Sudermann-Merx 证明（见 arXiv:2607.15021）；n ≥ 8 的情形仍未解决。

查看来源

逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

每个规模参数 n 都是一个独立计分的子题。点击任意卡片可查看当前纪录构型，或打开编辑器提交更优解答。

当前纪录0.048611111055555543已证明最优 7/144

1234567

答案来源参考答案

解题方式—

当前纪录0.033894606512292792

中

12345678

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录0.0274234693265306125

中

123456789

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

n10

当前纪录0.02168837032131315

中

12345678910

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/heilbronn-in-triangle.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/heilbronn-in-triangle.json

BibTeX（点击复制）

@misc{minmaxarena-heilbronn-in-triangle-2026-10,
  title  = {{Heilbronn's problem in a triangle} (P29)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/heilbronn-in-triangle.json},
  license = {CC BY 4.0}
}

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

暂无讨论，欢迎发表第一篇帖子。