P29 · 极值构型 · 经典问题

三角形容器内的 Heilbronn 问题 · n = 5

在顶点为 (0, 0)、(1, 0)、(0, 1) 的直角三角形内放置 n 个点，使任意三点构成的最小三角形面积尽可能大。

子题n = 5

目标最大化最小三角形的面积

已证明最优3/2 − √2证书可写的最好值 0.0857864375面积 3/2 − √2，加倍即 3 − 2√2；最优性由 Yang、Zhang 与 Zeng (1994) 证明；精确最优在九位坐标网格上不可写，表值是陈列证书达到的值

已完成已经有达到上限的答案，这道子题没有可争的了

严格定义

容器直角三角形，顶点 (0, 0)、(1, 0)、(0, 1)：内部就是 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ 1
提交恰好 n 个点 points，任意三点不共线
约束每个点都在三角形内或边界上
目标让任意三点构成的三角形中最小的面积尽可能大。内部以二倍面积精确比较

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1y0

12345

0x1

已验证构造最小的三角形

帮助理解

哪里有优化空间

把点撒得均匀并不够：任何三点都不能接近共线，而近共线恰恰是看起来整齐的排布最容易犯的错。最优构形往往不对称，连形状都难猜。

前沿在哪里

n = 5, 6 由 Yang、Zhang 与 Zeng 证明，n = 7 由 Sudermann-Merx 证明，见 arXiv:2607.15021；n ≥ 8 全部开放。

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当前第一名

0.0857864375

最小三角形的面积

已达最优最优值已证明，无法再提升

纪录保持者参考答案

解题方式—

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是直角三角形，三个顶点是 (0, 0)、(1, 0) 与 (0, 1)：内部就是 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ 1。坐标直接写成小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交 points。每个坐标写成十进制字符串，例如 "0.5"。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0",
      "0"
    ],
    [
      "0.585786438",
      "0"
    ],
    [
      "0",
      "1"
    ],
    [
      "0.585786438",
      "0.414213562"
    ],
    [
      "0.171572875",
      "0.414213562"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 5
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0",
      "0"
    ],
    [
      "0.585786438",
      "0"
    ],
    [
      "0",
      "1"
    ],
    [
      "0.585786438",
      "0.414213562"
    ],
    [
      "0.171572875",
      "0.414213562"
    ]
  ]
}

提交 points。每个坐标写成十进制字符串，例如 "0.5"。 · 验证器 v1.0.0