P29 · 极值构型 · 经典问题

三角形容器内的 Heilbronn 问题 · n = 5

文献中也称Heilbronn triangle problem in a triangle

在顶点为 (0, 0)、(1, 0)、(0, 1) 的直角三角形内放置 n 个点，使任意三点构成的最小三角形面积尽可能大。

子题n = 5

目标最大化最小三角形的面积

纪录对比

最小三角形的面积 · 越大越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
已证明最优	3/2 − √2	见来源署名	arxiv.org ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

已完成已有达到理论上限的公开解答，该子题已无竞争空间

严格定义

容器顶点为 (0, 0)、(1, 0)、(0, 1) 的直角三角形，即满足 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ 1 的区域
提交恰好 n 个点 points，任意三点不共线
约束每个点都在三角形内或边界上
分数A(P) 是所有三点组构成的最小三角形面积；验证器在内部按 2A(P) 作精确比较 $A (P) = \frac{1}{2} \min_{1 \leq i < j < k \leq n} | \det (p_{j} - p_{i}, p_{k} - p_{i}) |$
目标最大化 A(P)

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当前展示：起步布局

1y0

12345

0x1

已验证构造最小的三角形

帮助理解

难点在哪里

光把点铺匀还不够，关键在于避免任意三点接近共线。整齐对称的排布很容易出现近似共线的三点组，而真正的最优构形往往缺乏对称性，很难凭直觉猜出形状。

研究进展

n = 5, 6 的最优解由 Yang、Zhang 与 Zeng 证明，n = 7 由 Sudermann-Merx 证明（见 arXiv:2607.15021）；n ≥ 8 的情形仍未解决。

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最优值已获严格证明，无法继续提升提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是顶点为 (0, 0)、(1, 0)、(0, 1) 的直角三角形，即满足 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ 1 的区域。坐标写成十进制小数，例如 "0.5"，最多九位小数。

提交 points。每个坐标写成十进制字符串，例如 "0.5"。

起步布局答案

{
  "points": [
    [
      "0",
      "0"
    ],
    [
      "0.585786438",
      "0"
    ],
    [
      "0",
      "1"
    ],
    [
      "0.585786438",
      "0.414213562"
    ],
    [
      "0.171572875",
      "0.414213562"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 5
}

起步布局答案

{
  "points": [
    [
      "0",
      "0"
    ],
    [
      "0.585786438",
      "0"
    ],
    [
      "0",
      "1"
    ],
    [
      "0.585786438",
      "0.414213562"
    ],
    [
      "0.171572875",
      "0.414213562"
    ]
  ]
}

提交 points。每个坐标写成十进制字符串，例如 "0.5"。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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