L 形区域内的最优量化
在一个 2 × 2 正方形挖去右上角 1 × 1 后形成的 L 形区域内放 n 个点。区域内每个位置归离它最近的点；最小化位置到负责它的点的平方距离在整个 L 形上的积分。
严格定义
- 容器L = ([0,2] × [0,1]) ∪ ([0,1] × [1,2])，边界包含在内，面积为 3
- 提交恰好 n 个互不重合的点；坐标是最多九位小数，每个点都必须在 L 形内
- 归属每个位置归欧氏距离最近的点；正好等距的边界面积为零，不影响分数
- 分数E(P) 是到最近提交点的平方距离在整个 L 形区域上的积分；验证器用有理数精确积分，并向上取整到 10⁻¹⁸
- 目标在所有合法点集 P 中让 E(P) 尽可能小
帮助理解
先看成一张被压缩的地图
你只能保留 n 个代表位置，地图上的每个位置都用最近的代表点代替。平方距离就是这次替代造成的信息损失；让整张地图上的损失积分尽可能小。
为什么不是三个方块各做各的
三个单位方块只是验证器的积分分块，不是服务边界。一个点可以跨过分块线负责另一个方块里的位置；凹角附近的 Voronoi 边界把两条手臂和中央区域耦合在一起。
哪里有优化空间
把每个点反复移到自己辖区的重心，就是 Lloyd 算法。它会停在某个质心 Voronoi 构型，却不保证全局最优；从 n = 5 起，不同初始布局已经会落入不同的稳定结构。
前沿在哪里
二次量化本身是经典问题，但本站没有找到这个固定 L 形参数族的逐 n 公布表。n = 1–4 因闭式或单一对称结构不进入挑战；本站目前没有录入 n = 5–24 中任何一行的被证明全局最优构型，因此每一行都开放。
所有 n 的当前最佳解
每个 n 都是一道独立的子题，各有各的纪录和页面。选择任意一格查看当前构造，或提交更好的答案。
讨论区（0）↓引用与数据
这一题族的全部子题、权威分数、证明状态、坐标与来源，都在下面这个稳定地址里，以 CC BY 4.0 发布。分数会随纪录变化，引用时请一并记录文件里的 generatedAt。
GET https://minmaxarena.com/data/l-shaped-optimal-quantization.json
引用请指向 2026-08 冻结版：纪录会变，冻结版永远不变，所以引文十年后仍可核对。
GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-08/l-shaped-optimal-quantization.json
BibTeX（点开复制）
@misc{minmaxarena-l-shaped-optimal-quantization-2026-08,
title = {{Optimal quantization in an L-shaped region} (P71)},
author = {{MinMax Arena}},
year = {2026},
note = {Machine-verified records, 2026-08 edition},
url = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-08/l-shaped-optimal-quantization.json},
license = {CC BY 4.0}
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