L 形区域内的最优量化
在由 2 × 2 正方形挖去右上角 1 × 1 正方形所得的 L 形区域内放置 n 个代表点，最小化区域内各点到最近代表点的欧氏距离平方在整个 L 形区域上的积分。
严格定义
- 容器L = ([0,2] × [0,1]) ∪ ([0,1] × [1,2])，包含边界，总面积为 3
- 提交恰好 n 个互不重合的点，全部位于 L 形区域内，坐标最多九位小数
- 归属每个位置归属欧氏距离最近的代表点；等距分界线的面积为零，不影响积分值
- 分数E(P) 是到最近提交点的平方距离在整个 L 形区域上的积分；验证器使用有理数精确积分，并向上取整到 10⁻¹⁸
- 目标在所有合法点集 P 中最小化 E(P)
帮助理解
连续区域的质心量化
用 n 个离散代表点近似整个连续区域，区域内每一点由距离最近的代表点负责。平方距离刻画近似误差，积分值越低，代表点对区域的覆盖越均衡。
非凸边界与跨块耦合
L 形区域由三个单位正方形拼接而成，但代表点的 Voronoi 辖区并不按正方形接缝切分。内凹拐角 (1,1) 附近的 Voronoi 边界将水平臂、竖直臂与左下角区域紧密耦合在一起。
局部极小与质心 Voronoi 构型
反复将每个代表点移至其 Voronoi 辖区重心的 Lloyd 算法会收敛到质心 Voronoi 剖分（CVT），但非凸区域上存在多个不等价的稳定构型。从 n = 5 起，不同初值便会落入不同局部极小值。
开放前沿
连续二次量化历史悠久，但该固定 L 形区域的逐 n 最优值尚无系统的公开文献表。除具有显式或单一对称结构的 n = 1–4 外，本题开放 n = 5–24 的全部实例。
所有 n 的当前最佳解
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讨论区（0）↓引用与数据
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GET https://minmaxarena.com/data/l-shaped-optimal-quantization.json
引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。
GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/l-shaped-optimal-quantization.json
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@misc{minmaxarena-l-shaped-optimal-quantization-2026-10,
title = {{Optimal quantization in an L-shaped region} (P71)},
author = {{MinMax Arena}},
year = {2026},
note = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
url = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/l-shaped-optimal-quantization.json},
license = {CC BY 4.0}
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