P71 · 极值构型 · 本站原创 · 应用前沿 · 基线易突破 · 难

L 形区域内的最优量化 · n = 21

在由 2 × 2 正方形挖去右上角 1 × 1 正方形所得的 L 形区域内放置 n 个代表点，最小化区域内各点到最近代表点的欧氏距离平方在整个 L 形区域上的积分。

子题n = 21

目标最小化平方距离积分

纪录对比

平方距离积分 · 越小越好

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严格定义

容器L = ([0,2] × [0,1]) ∪ ([0,1] × [1,2])，包含边界，总面积为 3
提交恰好 n 个互不重合的点，全部位于 L 形区域内，坐标最多九位小数
归属每个位置归属欧氏距离最近的代表点；等距分界线的面积为零，不影响积分值
分数E(P) 是到最近提交点的平方距离在整个 L 形区域上的积分；验证器使用有理数精确积分，并向上取整到 10⁻¹⁸ $E (P) = \underset{L}{\int \int} \min_{i} {‖ x - p_{i} ‖}^{2} d x$
目标在所有合法点集 P 中最小化 E(P) $\min_{P} E (P)$

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2y0

123456789101112131415161718192021

0x2

已验证构造21 块 Voronoi 辖区，代价最高的一块占总代价的 6.1%

帮助理解

连续区域的质心量化

用 n 个离散代表点近似整个连续区域，区域内每一点由距离最近的代表点负责。平方距离刻画近似误差，积分值越低，代表点对区域的覆盖越均衡。

非凸边界与跨块耦合

L 形区域由三个单位正方形拼接而成，但代表点的 Voronoi 辖区并不按正方形接缝切分。内凹拐角 (1,1) 附近的 Voronoi 边界将水平臂、竖直臂与左下角区域紧密耦合在一起。

局部极小与质心 Voronoi 构型

反复将每个代表点移至其 Voronoi 辖区重心的 Lloyd 算法会收敛到质心 Voronoi 剖分（CVT），但非凸区域上存在多个不等价的稳定构型。从 n = 5 起，不同初值便会落入不同局部极小值。

开放前沿

连续二次量化历史悠久，但该固定 L 形区域的逐 n 最优值尚无系统的公开文献表。除具有显式或单一对称结构的 n = 1–4 外，本题开放 n = 5–24 的全部实例。

构型与历史

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纪录保持者今天

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

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历史纪录（3 次易主）

今天AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
0.078960800080958→0.071965183942861
2026-09-20
NUE_13人工
0.099546008105092→0.078960800080958
2026-09-20
今天人工
0.277829522579351→0.099546008105092
2026-09-20

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长 2 的正方形挖掉右上角的 1 × 1 方块：左下角为 (0, 0)，缺口是 x > 1 且 y > 1 的区域。面积为 3。

提交 points：恰好 n 个位于 L 形区域内的点，每个坐标写成最多九位小数的十进制字符串（例如 "0.25"）。分数为到最近提交点的平方距离在整个区域上的积分，越小越好。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.161468822",
      "1.771588574"
    ],
    [
      "0.171974019",
      "1.325349257"
    ],
    [
      "0.179690901",
      "0.179690901"
    ],
    [
      "0.188155027",
      "0.914839373"
    ],
    [
      "0.208092372",
      "0.545233712"
    ],
    [
      "0.498109663",
      "1.840030694"
    ],
    [
      "0.498421137",
      "1.475806263"
    ],
    [
      "0.533694241",
      "1.048155441"
    ],
    [
      "0.545233711",
      "0.208092373"
    ],
    [
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      "0.613524203"
    ],
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      "1.337199138"
    ],
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      "0.836530716",
      "1.775809802"
    ],
    [
      "0.904660896",
      "0.904660896"
    ],
    [
      "0.914839372",
      "0.188155027"
    ],
    [
      "1.048155440",
      "0.533694241"
    ],
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      "1.325349256",
      "0.171974019"
    ],
    [
      "1.337199138",
      "0.832430933"
    ],
    [
      "1.475806263",
      "0.498421137"
    ],
    [
      "1.771588574",
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    ],
    [
      "1.775809802",
      "0.836530716"
    ],
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      "1.840030694",
      "0.498109663"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 21,
  "domain": "L-2x2-minus-1x1",
  "metric": "squared-euclidean",
  "measure": "uniform"
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.161468822",
      "1.771588574"
    ],
    [
      "0.171974019",
      "1.325349257"
    ],
    [
      "0.179690901",
      "0.179690901"
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      "0.188155027",
      "0.914839373"
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      "0.208092372",
      "0.545233712"
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      "0.498109663",
      "1.840030694"
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      "0.613524203"
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      "0.832430933",
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      "1.840030694",
      "0.498109663"
    ]
  ]
}

提交 points：恰好 n 个位于 L 形区域内的点，每个坐标写成最多九位小数的十进制字符串（例如 "0.25"）。分数为到最近提交点的平方距离在整个区域上的积分，越小越好。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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