如标题所示，这是“最终证明思路”，因此需要将本证明和“[证明思路 · p51-n2-v1] 本题n=2时证明思路”区分开。前者是我走过的弯路，而这个证明我确信不仅能完全证明此子题，还能为更高的n的证明提供通用思路。邮件也已同步发送。接下来开始。 0.总体思想和步骤说明 n=2，意味着有两个光源。设这两个光源分别为L1和L2，可以先从只有一个光源出发，随后上升到2个。在这期间，需要用到对正方形4条边的亮度分析，并得出大多数情况下边上的最暗点，即角点。对原题中计算光强的公式分析后，可发现事实上某点光强是由其到光源的距离决定的，并且距离越远，亮度越大。这个关系非常重要，并且恒成立，因此，之后的分析会大量用到这个关系式。得出大多数情况下的最暗点角点后，只需证明对称构型一定满足四角点相等即可。 1.单光源对于单边的最暗点 我们先从单光源对于正方形的单独的一条边的亮度开始讨论。光源L1的坐标为(a,b)，并且为了使L必然在正方形内，a和b的取值范围必须为0到1（包括0和1）。我们只对正方形的底边上进行讨论，即y坐标为0的那条边。作(0,0)和(1,1)坐标的两个点分别为A和B。 作L1D垂直于AB，当L1不在正方形左右边上时，则三角形L1DA和三角形L1DB都是直角三角形。根据三角形两边之和大于第三边，L1A和L1B必定大于L1D，即斜边大于直角边。当L在正方形左右边上时，L1D和L1A与L1B中的一条边重合。明显，在大三角形L1AB的底边AB上，离L最近的点为D，而最远的点则一定是A或B的其中一个，也就是当n=1时，正方形某边上的最暗点必为角点。那么当A和B亮度相等呢？那就有LA=LB，因此此时L在AB的垂直平分线上，即AD=BD=1/2，这就是关键的一条分界线。当D在1/2左边时，DB>DA，LB>LA，所以B更暗。反之，则A更暗。 事实上，可得出在y坐标固定时，底边的亮度关系总是以“从A、B逐步向D增强”变化。 2.双光源对于单边的最暗点以及两点对称时的特殊情况 接下来，我们加入2个光源。对于第二个光源L2，1中的单独结论仍然成立。因此，这里只讨论两光源的情况组合的情况。每个光源有三种情况：左、中、右，其中“左”指x坐标<1/2，“中”指x坐标=1/2，“右”指x坐标>1/2。因此，两个光源就有9种情况。但我们有必要全部讨论吗？事实上，如果两个光源全偏向一边，即左左和右右，那么明显是另一边的角点更暗。如果有一个光源在中间，另一个在左或者右（左中，右中，中左，中右），那么仍然是另一个所在的另外一边的角点最暗。特别地，当两光源都在中时（中中），可发现A、B亮度相等。这样，正常情况（能得出确切最暗点的情况）就全部讨论完毕了。最后剩下两种情况：左右和右左，也就是两光源不同侧。但是，我们能够明显发现，这个时候，最暗点亮度不确定。 为了方便讨论，接下来我们分成两种情况：y坐标相等和y坐标不等。设光源L2的坐标为(c,d)。当y坐标相等，可得b=d。那么，在此时，要计算最暗点，就有点难了。角点固然暗；但两光源偏离中心越多，中点亮度就可能更暗，以至于最终亮度比角点更暗。这有可能吗？实际上，我之前所用的步骤繁琐但准确的dlight函数求导，已经具体地说明了这一点。但dlight是基于对称，而我们不能确定这两个光源是否对称。那么，如何推广这个对称呢？我想到了我以前所说的局部对称型和多余部分。现在，让我们进行之前没有进行的计算。 我们把底边分成对称和多余两个部分，以点T为分界线，AT部分为对称，BT为多余。经过dlight-mid-side函数推广计算，可得出左边的对称最优时，两点距离实际上为AT*sqrt(6)/3。这里只讨论最暗点，因此我没有计算具体的亮度。明显，由于BT部分比AT部分远，因此AT内部最优时，B仍然是最暗。但当两点距离大于AT*sqrt(6)/3时，AT部分的中点亮度急剧下降，这可能会导致最暗点的位置发生“崩坏”，即AT中点成为最暗，并超过角点B。这完全有可能，从我之前发的邮件中的mid-side函数图像就能发现，当两点距离大于AT*sqrt(6)/3，最暗的部分变为中点，且亮度急剧下降。我们可以具体的举一个例子：设y坐标为0.5，T的x坐标为0.95，而两个光源的距离为0.92。此时，由于0.92>sqrt(6)/3*0.95，所以此时最暗点即为AT中点，算出来亮度为2/(0.5^2+0.46^2)约为4.332755。而点B的亮度为1/(0.5^2+0.065^2)+1/(0.5^2+0.985^2)约为4.753044，明显AT中点亮度更低。因此，这种特殊的情况使角点不再成为“控制最暗点的点”，但大多数情况下，双光源对于单边的最暗点仍然是角点。 而至于y坐标不等的情况呢，似乎也没那么重要了。毕竟，目前已经证明在大多数情况下角点为最暗点，因此，我们可以着手进行最优构型的构建了。 3.最优构型的构建 我们已经证明，在大多数情况下，正方形的一条边上的最暗点为角点。但是，一个正方形有四条边，每条边的角点有亮有暗，该怎么最大化角点的最暗点呢？如果我们把本来就亮的角点弄得更亮，那么对提升最暗点亮度毫无帮助。因此，为了最大限度地提升最暗点，我们必须使4个角点的亮度相等。那么，这两个点该怎么摆才能使4个角点全部相等呢？ 从2中我们知道，当这两个光源的x坐标均为1/2时，底边的两个角点相等。事实上，这个结论对顶边依旧适用，因为顶边的情况本质上就是把底边旋转180度，此时两个光源x坐标仍然在1/2上。同样，旋转90度后当y坐标在1/2上时，左右两边的角点相等。因此，只需这两个条件同时满足，就能得到4个角点相等。明显此时两个光源的坐标都为(1/2,1/2)，而4个角点的亮度均为4。嗯……这好像不是最佳解啊，上面第二步时为了得出特殊情况举了个例子，但它的最低亮度却有4.332755，明显比4大。这是怎么回事呢？ 事实上，如果两个光源为L1和L2，底边为AB，那么如果A和B亮度相等，那么就有L1A+L2A=L1B+L2B。在2中所说的“中中”情况，正是L1A=L1B，L2A=L2B，各项相等，相加自然也相等。那么如果换一换，L1A=L2B，L1B=L2A呢？这时候，终于能得出，L1和L2沿y=1/2的线对称了。加入了这个条件后，我们终于有了一个更好的构型：L1和L2满足y=1/2，且两光源沿x=1/2的线对称，即对称构型。这个构型实际上就是最优构型。 4.最终的结果和精度说明与通用思想 这样，对称构型的最优性就被证明了，接下来使用dlight-mid-side函数方法就可以算出最终的结果。接下来，我要证明为什么按照九位小数的精度只能验证到4.799999而非4.8。得到的最优解中，L1和L2的坐标分别是(1/2-sqrt(1/6),1/2)和(1/2+sqrt(1/6),1/2)，最暗点分别为(0,0),(1/2,0),(1,0),(0,1),(1/2,1),(1,1)精确到九位小数可得两光源的x坐标分别为0.908248290和0.091751710。将这两个坐标带入mid和side函数可得角点亮度为4.7999999994546，中点亮度为4.8000000043631，它们的最小值取4.7999999994546。 虽然误差已经<0.000000001，但仍然无法精确得到4.8。因此，验证器所能接受的最高的6位小数光强为4.799999，一个怎么看都好像故意设置出来的数字，Cphysics#36的构型无法再次优化，在九位小数精度中已达最优 在这个证明中，使用了对正方形的4边分别讨论，从局部推导出整体的思想。如果要做n=3，按这个思想就要讨论3个点对于单边的情况，再上升至整个正方形；更高的n也基本如此，不过可能会极其复杂。以后如果有时间，我会再来攻克n=3,4的最优。
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