P51 · 极值构型 · 经典问题

单位正方形里的照明

已验证构造最暗处不低于 22.252232

n = 5当前纪录 · 打开子题

在单位正方形内放置 n 个单位亮度的点光源，任一点的光强为各光源到该点距离平方的倒数之和；使正方形内最暗点的光强尽可能大。

严格定义

容器单位正方形 [0, 1]²，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)
提交n 个光源坐标 lights，以及可被验证器严格证实的最小光强下界 intensity
约束所有光源位于正方形内；允许多个光源重合，重合时亮度相加
点光强P = {p₁,…,pₙ} 为光源位置，每个单位亮度光源按距离平方的倒数贡献光强 $I_{P} (x) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{{‖ x - p_{i} ‖}^{2}}$
最暗光强L(P) 是整个闭正方形 [0, 1]² 上的连续最小光强 $L (P) = \min_{x \in {[0, 1]}^{2}} I_{P} (x)$
目标在所有合法光源布局 P 中最大化 L(P)；提交的 intensity 必须是验证器可严格证实的 L(P) 下界 $\max_{P} L (P)$

帮助理解

难点在哪里

最暗点通常出现在光源之间的鞍点或正方形四角。把光源向某处集中以照亮暗区时，其他区域的光强又会下降。均匀网格排布会在边角留下明显暗区，最优构形往往需要向边界和四角倾斜配置。

研究进展

Friedman 的公开表格整理了各个 n 的已知最好构形与数值。n = 2 的对称构型 24/5 已由 NUE_13 #31 证明为连续最优（取等坐标为无理数，不宣称九位小数网格最优），其余 n 均无最优性证明。纪录对比表按来源公布的有效位数展示对应的数值区间，达到该区间仅代表在公布精度内持平。

逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

每个规模参数 n 都是一个独立计分的子题。点击任意卡片可查看当前纪录构型，或打开编辑器提交更优解答。

讨论区（10）↓

当前纪录24/5

已证明最优

纪录保持者Cphysics

解题方式人工

当前纪录7.568389已知最好 [7.568, 7.569)

已追平已知最好

纪录保持者Cphysics

解题方式人工

当前纪录17.729703已知最好 [17.729, 17.730)

已追平已知最好

纪录保持者Cphysics

解题方式人工

当前纪录22.252232已知最好 [22.252, 22.253)

已追平已知最好

纪录保持者今天

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录29.790386已知最好 [29.791, 29.792)

纪录保持者游侠

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录35.909894已知最好 [35.909, 35.910)

已追平已知最好

纪录保持者游侠

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录47.839106已知最好 [47.839, 47.840)

已追平已知最好

纪录保持者游侠

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录57.388395已知最好 [57.388, 57.389)

已追平已知最好

纪录保持者游侠

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录64.751955已知最好 [64.751, 64.752)

已追平已知最好

纪录保持者今天

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录74.352753已知最好 [74.352, 74.353)

已追平已知最好

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录83.571596已知最好 [83.571, 83.572)

已追平已知最好

123456789101112

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录96.347101已知最好 [96.347, 96.348)

已追平已知最好

12345678910111213

纪录保持者游侠

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

当前纪录106.190726已知最好 [106.190, 106.191)

已追平已知最好

1234567891011121314

纪录保持者今天

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录115.15958已知最好 [115.159, 115.160)

已追平已知最好

123456789101112131415

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录125.458097已知最好 [125.458, 125.459)

已追平已知最好

12345678910111213141516

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录135.166511已知最好 [135.166, 135.167)

已追平已知最好

1234567891011121314151617

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录147.341252已知最好 [147.341, 147.342)

已追平已知最好

123456789101112131415161718

纪录保持者今天

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录159.385528已知最好 [159.385, 159.386)

已追平已知最好

12345678910111213141516171819

纪录保持者今天

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录174.655642已知最好 [174.655, 174.656)

已追平已知最好

1234567891011121314151617181920

纪录保持者今天

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录184.439329已知最好 [184.439, 184.440)

已追平已知最好

123456789101112131415161718192021

纪录保持者Gaozx1

解题方式AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash

当前纪录195.360668已知最好 [195.360, 195.361)

已追平已知最好

12345678910111213141516171819202122

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录206.538424已知最好 [206.538, 206.539)

已追平已知最好

1234567891011121314151617181920212223

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录219.197869已知最好 [219.197, 219.198)

已追平已知最好

123456789101112131415161718192021222324

纪录保持者今天

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录229.700849已知最好 [229.700, 229.701)

已追平已知最好

12345678910111213141516171819202122232425

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录242.004151已知最好 [242.004, 242.005)

已追平已知最好

1234567891011121314151617181920212223242526

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录254.776777已知最好 [254.776, 254.777)

已追平已知最好

123456789101112131415161718192021222324252627

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录269.279641已知最好 [269.279, 269.280)

已追平已知最好

12345678910111213141516171819202122232425262728

纪录保持者今天

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录285.128784已知最好 [285.128, 285.129)

已追平已知最好

1234567891011121314151617181920212223242526272829

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录296.005122已知最好 [296.005, 296.006)

已追平已知最好

123456789101112131415161718192021222324252627282930

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录307.962407已知最好 [307.962, 307.963)

已追平已知最好

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录320.497093已知最好 [320.497, 320.498)

已追平已知最好

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录334.037193已知最好 [334.037, 334.038)

已追平已知最好

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

当前纪录346.523376已知最好 [346.523, 346.524)

已追平已知最好

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Luna

当前纪录359.463099已知最好 [359.463, 359.464)

已追平已知最好

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435

纪录保持者qiboqi

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Luna

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

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引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

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DISCUSSION

讨论区

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本题n=3（之后关于这道的讨论都会发在此，也欢迎各位参与）NUE_13#311 条回复2 天前 外部记录大幅更新！NUE_13#317 条回复9 天前 [证明] p51-n2-v1 最优值 24/5：完整严格证明NUE_13#315 条回复10 天前 这个外部记录是不是有点水（NUE_13#315 条回复30 天前 对称构型的最优性：本题n=2时的最终证明思路与通用思想NUE_13#310 条回复39 天前 [证明思路 · p51-n2-v1] 本题n=2时证明思路NUE_13#3112 条回复44 天前 n=10似乎可以参考我这里的摆法hadsajnc#1460 条回复58 天前 P51 求解日记 2026 9 6hadsajnc#1460 条回复58 天前 经过我不懈的努力，终于...hadsajnc#1461 条回复58 天前 还在争！！！hadsajnc#1460 条回复59 天前