曲折走廊里的沙发

严格定义

• 容器闭集；允许接触墙体边界，各墙体均为开禁区。之字弯：底墙 y < 0、左墙 {x < 0, y < 1 + d}、右下内角 {x > 1, y > 1}、顶墙 y > 2 + d。双 180° 弯：底墙 y < 0、左墙 {x < 0, y < 2 + 2t}、两道薄隔墙 {x > 1, 1 < y < 1 + t} 与 {x < 1, 2 + t < y < 2 + 2t}、右墙 {x > 2, y > 1}、顶墙 y > 3 + 2t（其中 t = 10⁻⁹）。台阶：底墙 y < 0、{x < 0, y < 1}、{x > 1, y > 1}、{x > 0, y > 2}、{x < −1, y > 1}。带凸台的发夹弯：底墙 y < 0、{x < 0, y < 1}、左墙 x < −1、{x < 0, y > 4}、隔墙 {x > 1, 1 < y < 4} 及其左侧凸台 {x > 0, 2 < y < 3}、顶墙 y > 5
• 提交一个简单多边形（在沙发自身坐标系下给出至多 800 个顶点）与一串连续放置（至多 1500 个），且顶点数 × 放置数 ≤ 300,000
• 运动相邻两个放置之间，沙发沿连接二者的唯一刚体位移运动：当 turn 相同时为纯平移，否则（按 Chasles 定理）为绕唯一定点的单次旋转，单步转角不超过 90°
• 始末首个放置完全在下方入口走廊内，且存在顶点越过 x = 1（双 180° 弯为越过 x = 2）。末个放置：之字弯完全在上方走廊内且有顶点满足 x < 0；双 180° 弯完全在上方走廊（x ≤ 2）内且有顶点满足 x < 0；台阶完全在 {−1 ≤ x ≤ 0, y ≥ 1} 内且有顶点满足 y > 2；带凸台的发夹弯完全在上方走廊（x ≥ 0）内且有顶点满足 x > 1
• 精确验证每个放置的 turn 给出精确有理旋转矩阵，并精确解出相邻放置间的旋转中心。每条边扫过的区域由其边界表示（平移对应平行四边形，旋转对应两端点圆弧、内包络圆弧及首尾线段），并与所有开禁区做精确碰撞检测。全部运算基于有理数与二次根式 a + b√D 的精确符号判定
• 分数多边形面积，向下截断至九位小数；越大越好$$A\left(S\right)=area\left(S\right)$$
• 目标在所有能无碰撞通过该走廊的沙发中最大化面积$$\underset{S}{\max }A\left(S\right)$$