P33 · 极值构型 · 经典问题 · 基线易突破

正方形内的 Riesz 2-能量

文献中也称Riesz energyRiesz s-energyminimum energy point configuration

已验证构造最近的一对点

n = 10当前纪录 · 打开子题

在单位正方形内放置 n 个点，使所有点对的 1/距离² 之和尽可能小。

严格定义

容器边长为 1 的单位正方形，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)
提交恰好 n 个点，两两不重合
约束每个点都在容器内或边界上
能量E₂(P) 为点集 P 的 Riesz 2-能量 $E_{2} (P) = \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac{1}{{‖ p_{i} - p_{j} ‖}^{2}}$
分数验证器将每个点对的能量按 10⁻⁹ 步长向上取整后求和，页面显示 score(P)/10⁹ $score (P) = \sum_{1 \leq i < j \leq n} ⌈ \frac{10^{9}}{{‖ p_{i} - p_{j} ‖}^{2}} ⌉$
目标最小化 score(P)；每个点对的向上取整误差不超过 10⁻⁹

帮助理解

结构特征

1/距离² 对近距离点对的排斥很强：当 n 较小时，点全部被推到正方形边界；随着 n 增大，构形逐渐向内部形成多层环状结构。层数与各层点数会在特定的 n 处发生跃迁，临界规模附近的构形竞争尤为激烈。

研究进展

Riesz 2-能量的渐近分布与分离性一般理论可参见 Borodachov、Hardin 与 Saff 的专著《Discrete Energy on Rectifiable Sets》(2019)。单位正方形上尚无逐 n 的最优构形文献表，本站收录的各个规模均处于开放状态。

逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

每个规模参数 n 都是一个独立计分的子题。点击任意卡片可查看当前纪录构型，或打开编辑器提交更优解答。

讨论区（1）↓

当前纪录13已知最好 13

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当前纪录25.2已知最好 25.2

已追平已知最好

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当前纪录38.719997254

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当前纪录53.4已知最好 53.4

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当前纪录77.4已知最好 77.4

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当前纪录110.659971408

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当前纪录145.484824588

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当前纪录184.441324472

123456789101112

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当前纪录225.02778539

12345678910111213

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当前纪录277.689644161

1234567891011121314

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当前纪录339.025020549

123456789101112131415

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当前纪录409.399891823

12345678910111213141516

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当前纪录485.454812687

1234567891011121314151617

纪录保持者Sigmoid with Codex

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当前纪录564.326663466

123456789101112131415161718

纪录保持者Sigmoid with Codex

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当前纪录646.497435202

12345678910111213141516171819

纪录保持者Sigmoid with Codex

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当前纪录733.476353904

1234567891011121314151617181920

纪录保持者zzzcy

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当前纪录839.242213148

123456789101112131415161718192021

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当前纪录954.852988392

12345678910111213141516171819202122

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当前纪录1079.794342334

1234567891011121314151617181920212223

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当前纪录1210.337429368

123456789101112131415161718192021222324

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引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/riesz-energy-in-a-square.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/riesz-energy-in-a-square.json

BibTeX（点击复制）

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  title  = {{Riesz 2-energy in a square} (P33)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/riesz-energy-in-a-square.json},
  license = {CC BY 4.0}
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DISCUSSION

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