正方形内的 Riesz 2-能量
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在单位正方形内放置 n 个点,使所有点对的 1/距离² 之和尽可能小。
严格定义
- 容器容器是边长 1 的正方形,左下角是原点 (0, 0),右上角是 (1, 1)。
- 提交恰好 n 个点,两两不重合
- 约束每个点都在容器内或边界上
- 目标让全部点对的 1/距离² 之和尽可能小。以精确有理数计分
帮助理解
哪里有优化空间
1/距离² 把靠得近惩罚得极重:点先被推到边界排成一圈,再随 n 增大向内分层。层数和每层的点数在特定的 n 跳变,跳变附近优化空间最大。
前沿在哪里
逐点对 1/r² 能量的一般理论(渐近分布、分离性)见 Borodachov、Hardin 与 Saff 的《Discrete Energy on Rectifiable Sets》(2019);但正方形上逐 n 的最优构形没有文献表,这里的每个 n 都开放。少数平凡闭式是本站自证的。
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n5
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n6
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n11
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n12
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