P21 · 极值构型 · 本站原创

十字形内的散点分离

Name: P21 — 十字形内的散点分离
Creator: MinMax Arena
License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

在十字形（3 × 3 正方形挖掉四角各一个 1 × 1）里放 n 个点，让任意两点间的最小距离尽可能大。

严格定义

容器由边长为 3 的正方形 [0, 3] × [0, 3] 挖去四个角上的 1 × 1 正方形所构成的对称十字形区域，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (3, 3)
提交恰好 n 个点 points，两两互不重合
约束每个点均位于十字形区域内部或边界上
分数δ(P) 为所有点对中的最小欧氏距离（验证器在内部通过精确比较距离平方 δ(P)² 来判定高低） $δ (P) = \min_{1 \leq i < j \leq n} ‖ p_{i} - p_{j} ‖$
目标最大化最小两两距离 δ(P)

帮助理解

五方格分划与外端顶点

对称十字形由中央 1 × 1 方格与四条 1 × 1 延伸臂组成，共有 8 个外凸顶点与 4 个内凹角。将十字形按子方格或更细的子区域进行分划，结合抽屉原理即可导出中小规模的最小距离上界；最优构型往往先占满四臂外端顶点，再在中央区域协调排布。

四个已证明的规模

n = 4、5、6、9 的最优距离已获证明：NUE_13 #31 给出了构型与猜想，本站补全了 n = 4 与 n = 5 的上界证明；HwaterB #40 利用五方格分划证明了 n = 6 的最优距离为 √2，并利用八区域分划证明了 n = 9 的最优距离为 √5/2。其余规模仍处于开放状态。

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逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

每个规模参数 n 都是一个独立计分的子题。点击任意卡片可查看当前纪录构型，或打开编辑器提交更优解答。

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当前纪录1.166451577

中

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n15

当前纪录0.814098237

中

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n16

当前纪录0.741419383

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n17

当前纪录0.71722646

中

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n18

当前纪录0.686096482

中

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n19

当前纪录0.671297622

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n20

当前纪录0.649870204

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引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/spread-points-in-a-cross.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/spread-points-in-a-cross.json

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@misc{minmaxarena-spread-points-in-a-cross-2026-10,
  title  = {{Spreading points in a plus sign} (P21)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/spread-points-in-a-cross.json},
  license = {CC BY 4.0}
}

DISCUSSION

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本题n=6已达最优的证明HwaterB#406 条回复52 天前 本题n=9已达最优的证明HwaterB#402 条回复52 天前 本题n=6已达最优的证明（再发一遍，上次审核似乎没看见）HwaterB#401 条回复52 天前