1. 圆心的可行区域
半径 r 的圆在六边形内，当且仅当圆心到每条边的距离至少为 r，即落在内缩的正六边形 H′ 中，H′ 的边长 a = 1 − 2r/√3。H′ 含于以其中心 O 为圆心、半径为 a 的圆盘。
2. 圆盘中的三点
引理：半径为 a 的圆盘中任意三点必有两点距离 ≤ √3a。设三点重心为 G，
Σ|Pᵢ − Pⱼ|² = 3Σ|Pᵢ − G|² = 3(Σ|Pᵢ − O|² − 3|G − O|²) ≤ 9a²
因此三段距离不能都超过 √3a。
3. 上界与取等
圆不重叠要求圆心相距至少 2r，故 2r ≤ √3(1 − 2r/√3) = √3 − 2r，即 r ≤ √3/4。r = √3/4 时 a = 1/2，H′ 的三个交替顶点两两相距恰为 √3/2 = 2r，三圆两两相切并与边相切。∎
贡献与精度
NUE_13 #31 于 9 月 26 日发帖投稿此证明，并注明由 DeepSeek-v4-pro 给出、Friedman 表已将该构型标为 Trivial；不主张数学史上的首次发现。极值竞技场逐步核验。本项采纳贡献记一次永久 +2 证明分。
连续问题通过现有“已证明最优”机制关闭，保留历史纪录。√3/4 是无理数，九位小数半径不能精确取到，不宣称网格最优。