结果
| n | 连续最优值 | 九位网格最大分数 |
|---|---|---|
| 1 | √3/6 | 0.288675134 |
| 2 | 2√3/9 | 0.384900179 |
| 3 | 3(√3−1)/4 | 0.549038104 |
| 4 | 0.617524884780866… | 0.617524883 |
| 5 | 0.693904526840437… | 0.693904525 |
| 6 | 6−3√3 | 0.803847575 |
| 7 | 0.855687593470088… | 0.855687591 |
| 8 | 0.912454563520543… | 0.912454561 |
| 9 | 0.976596443373822… | 0.976596440 |
| 10 | 5(3−√3)/6 | 1.056624324 |
| 11 | 1.098475709724551… | 1.098475706 |
| 15 | (60−15√3)/26 | 1.308432222 |
1. 连续最优
存在一个所有空隙都闭合的最优排布：在全部最优解中取离原点最远的一个，它无法沿保持接触的方向移动，因此有 3n 个独立接触；把三条边当作顶点，由欧拉公式，接触图是一个三角剖分。每个三角剖分至多对应一个排布，由每个圆周围的角度和以及边长唯一确定。所以连续最优值就是有限个排布中最好的那个。
n ≤ 3 可以手算。n = 4–11 枚举全部三角剖分（分别为 16、78、457、2 938、20 118、144 113、1 065 328 和 8 068 332 个）。n = 15 用幂单元论证说明，等圆三角阵以外的排布都达不到。
2. 九位小数网格
任何能超过纪录的排布都离最优排布只有几个网格单位：一个显式不等式不允许它离开一个小球，而连通集无法跳过去。在这些小盒子里，每个整数点都被一棵分支树排除，树的每片叶子都带有精确的有理数证书。
贡献与核验
zzzcy #308 于 2026 年 10 月 4 日通过邮件提交这些证明，并注明借助 AI 完成。极值竞技场用自己的程序核验了全部结论：只读取提交的数据，从不运行附带的脚本；三角剖分由我们自己枚举，每份证书由我们自己重放。本项采纳的贡献记一次永久 +2 证明分。
网格最大分数等于当前纪录，因此这些子题关闭时纪录持有人不变。同一份证明还证明了 n = 21、28、36 和 45 的连续最优值；这几档的网格分数仍有提升空间，暂时保持开放。