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P93 · 装箱与覆盖 · 经典问题

正三角形内圆的半径之和

0.866025404y0
0x1
已验证构造计分是全部半径之和
n = 12当前纪录 · 打开子题

在边长为 1 的正三角形内放置 n 个互不重叠的圆，每个圆的半径各自随意，使所有半径之和尽可能大。

严格定义

  • 容器顶点 (0, 0)、(1, 0)、(1/2, √3/2) 的闭正三角形；圆可以与边相切
  • 提交恰好 n 个圆，每个是 [x, y, r]，r > 0，全部数字最多九位小数
  • 约束每个圆完整落在三角形内：y ≥ r，√3·x − y ≥ 2r，√3·(1 − x) − y ≥ 2r；任意两圆内部不相交：圆心距 ≥ 半径之和。斜边条件化为整数平方比较，全部精确判定，相切允许
  • 分数半径之和，精确整数求和后按九位小数显示；越大越好S=Σr
  • 目标在所有合法放置中最大化半径之和maxSΣr

帮助理解

哪里有优化空间

等圆三角阵是最差的策略之一：一个大圆坐在中间，几个中等的圆塞进三个角，再让小圆钻进它们和三条边之间的缝隙，半径之和才会上去。角落既是浪费也是机会：一个刚好卡住角的小圆，几乎不占别人的位置。

前沿在哪里

Erich Friedman 的“最大化总周长”表列到 n = 30。其中 26 行来自 David W. Cantrell 2011 年的搜索，只公布到三位小数；n = 27、29、30 是 Haowei Lin 与 Jonathan Viquerat 2026 年的新行。除 n = 1 的内切圆外，没有一行有最优性证明；本站展示按图重建并精确验算的构型（n = 29 只引用数值）。n = 31–50 超出该表，目前没有公布的纪录，是完全开放的子题。

查看来源
逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

每个 n 都是一道独立的子题，各有各的纪录和页面。选择任意一格查看当前构造，或提交更好的答案。

讨论区（2）↓
n1
当前纪录√3/6
已证明最优
答案来源Trivial.
解题方式公开参考构造
n2
当前纪录0.384900179文献数值待核实
难
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n3
当前纪录0.549038104文献数值待核实
难
纪录保持者NUE_13
解题方式人工
n4
当前纪录0.617524883已知最好 [0.617, 0.618)
已追平已知最好
纪录保持者NUE_13
解题方式人工
n5
当前纪录0.693904525已知最好 [0.693, 0.694)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n6
当前纪录0.803847575文献数值待核实
难
纪录保持者zzzcy
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n7
当前纪录0.855687591已知最好 [0.855, 0.856)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n8
当前纪录0.912454561已知最好 [0.912, 0.913)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n9
当前纪录0.97659644已知最好 [0.976, 0.977)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n10
当前纪录1.056624324文献数值待核实
难
纪录保持者zzzcy
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n11
当前纪录1.098475706已知最好 [1.098, 1.099)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n12
当前纪录1.143117744已知最好 [1.143, 1.144)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n13
当前纪录1.191922476已知最好 [1.191, 1.192)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n14
当前纪录1.243543701已知最好 [1.243, 1.244)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n15
当前纪录1.308432222文献数值待核实
难
纪录保持者zzzcy
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n16
当前纪录1.34325546已知最好 [1.343, 1.344)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n17
当前纪录1.381402236已知最好 [1.381, 1.382)
已追平已知最好
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n18
当前纪录1.420030145已知最好 [1.420, 1.421)
已追平已知最好
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n19
当前纪录1.462375773已知最好 [1.462, 1.463)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
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n20
当前纪录1.505788223已知最好 [1.505, 1.506)
已追平已知最好
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n21
当前纪录1.559703017文献数值待核实
难
纪录保持者zzzcy
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n22
当前纪录1.589549408已知最好 [1.589, 1.590)
已追平已知最好
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n23
当前纪录1.62248147已知最好 [1.622, 1.623)
已追平已知最好
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n24
当前纪录1.655464867已知最好 [1.655, 1.656)
已追平已知最好
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n25
当前纪录1.690709146已知最好 [1.690, 1.691)
已追平已知最好
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n26
当前纪录1.727377835已知最好 [1.727, 1.728)
已追平已知最好
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n27
当前纪录1.764216901已知最好 [1.76421, 1.76422)
已追平已知最好
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n28
当前纪录1.810645101文献数值待核实
难
纪录保持者zzzcy
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n29
当前纪录1.83671165已知最好 [1.83673, 1.83674)
难
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n30
当前纪录1.865805817已知最好 [1.86580, 1.86581)
已追平已知最好
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n31
当前纪录1.894825443
难
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n32
当前纪录1.92469475
难
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n33
当前纪录1.956503782
难
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n34
当前纪录1.98837524
难
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n35
当前纪录2.020699891
难
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n36
当前纪录2.061371407
难
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n37
当前纪录2.084515871
难
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n38
当前纪录2.110458785
难
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n39
当前纪录2.13654198
难
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n40
当前纪录2.16253093
难
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n41
当前纪录2.190472445
难
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n42
当前纪录2.218631935
难
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n43
当前纪录2.247076374
难
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n44
当前纪录2.275662242
难
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n45
当前纪录2.31194845
难
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n46
当前纪录2.332746296
难
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n47
当前纪录2.356195344
难
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n48
当前纪录2.379750661
难
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n49
当前纪录2.40336169
难
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n50
当前纪录2.427760297
难
纪录保持者zzzcy
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引用与数据

这一题族的全部子题、权威分数、证明状态、坐标与来源，都在下面这个稳定地址里，以 CC BY 4.0 发布。分数会随纪录变化，引用时请一并记录文件里的 generatedAt。

GET https://minmaxarena.com/data/circles-in-triangle-radii.json

引用请指向 2026-09 冻结版：纪录会变，冻结版永远不变，所以引文十年后仍可核对。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-09/circles-in-triangle-radii.json
BibTeX（点开复制）
@misc{minmaxarena-circles-in-triangle-radii-2026-09,
  title  = {{Sum of radii in the equilateral triangle} (P93)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-09 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-09/circles-in-triangle-radii.json},
  license = {CC BY 4.0}
}
DISCUSSION

讨论区

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