P19 · n=7 · √6−√2
HwaterB 的归约：用三个闭单位正方形覆盖 L 形，分界点恰分配给其中一个包含它的正方形。七点必有三点归属同一方格。经典正方形三点定理保证其中一对距离不超过 √6−√2。
Packomania · n=3列出已证三点距离；此处引用经典结论，不主张新定理。亦见本站 P17 n=5的同类归约。
取等构型：令 s=√3，取七点：
(0,0), (1,2−s), (s,1), (2,0), (2−s,1), (0,2), (1,s).
七点均在 L 形内。21 个距离平方为：10 个 8−4√3、2 个 16−8√3、8 个 4、1 个 8；最小值是 8−4√3=(√6−√2)²，达到上界。
P16 · n=4 · 1/√2
三角形 T={x,y≥0, x+y≤1} 包含于缩小一半的 L 形，即 [0,1]² 去掉右上开半方格：因为 x>1/2、y>1/2 会推出 x+y>1。HwaterB 的 P19 n=4 定理给出该缩放 L 形内四点的最小距离上界 √2/2，因此 T 中同样成立。
(0,0), (1,0), (0,1), (1/2,1/2).
这四点达到上界：六个距离平方为 1/2、1/2、1/2、1、1、2。坐标均为有限小数，验证器可精确表示。构型并非新发现：Packomania 署名 Yinfeng Xu（1996）。XSsMC 投稿了此包含关系证明，并明确致谢 HwaterB 的先前思路。
P19 n=4 · Packomania · 投稿原帖
P31 · n=4 · √(2−√2)
将单位四分之一圆分成半径 1/2 的内四分之一圆，以及径向范围 [1/2,1]、角宽各 π/4 的两个外环扇区。共用边界唯一分配。内区直径 √2/2 小于所求上界。
同一外扇区两点半径 r、t，夹角 θ≤π/4，距离平方 r²+t²−2rt cosθ≤r²+t²−√2 rt。右式分别关于 r、t 均为凸函数，所以在 [1/2,1]² 上最大值位于角点。三个可能的角点值为：
2−√2, 5/4−√2/2, 1/2−√2/4.
第一项最大：它减去第二项等于 (3−2√2)/4>0，第三项是第一项的四分之一。因此每区直径不超过 √(2−√2)，四点分到三区必有两点同区，上界得证。
(0,0), (1,0), (1/√2,1/√2), (0,1).
该构型六个距离平方为：3 个 1、2 个 2−√2、1 个 2，达到上界。分区来自 XSsMC；本站用上述径向凸性计算直接补全直径估计，不依赖示意图。
P90 · n=2k² · L=2k
每个多米诺边长为 1、2，面积为 2。无论如何旋转，只要内部不重叠且装入边长 L 的正方形，就有 L²≥2n。当 n=2k²，将边长 2k 的正方形分成 k 行（每行高 2），每行 2k 列（每列宽 1），恰用 2k² 个多米诺满铺，达到 L=2k。
在现有题库中，这解决 n=2、8、18、32，边长分别为 2、4、6、8。它不能证明 n=4、12、24、40 最优：某个特定布局有空隙，不能排除另一种布局装入更小的正方形。这些子题仍保持开放。
采纳 NUE_13 投稿中的满铺论证。这些是早已公布的简单网格构型，不主张新发现；同一个论证记一次证明分，不按四个子题重复计分。
范围、精度与贡献
这七个子题通过现有“已证明最优”机制关闭，保留历史纪录。P19、P31 最优距离平方为无理数，有限小数坐标不能精确取等。多米诺定理使用数学上的单位零件，归一化为有限小数证书时也未必保留等号。连续最优性不意味着任意历史舍入答案就是网格最优。本次不修改验证器、分数单位或历史提交。
四项采纳贡献各记一次永久 +2 证明分：P19 归约（HwaterB）、P16 包含归约与 P31 分区（XSsMC）、P90 面积论证（NUE_13）。HwaterB 先前的 P19 四点定理保留署名，不重复发放该项奖励。极值竞技场核验论证、补全精确计算并整理双语正文，不主张数学史上的首次发现。