P65 最鲁棒的冗余测量方向：四档已证明最优

结果

三个连续最优值都是无理数，而九位小数坐标给出的 V 总是有理数，所以网格答案达不到它们；但这并不排除分数等于 ⌊10¹⁸·最优值⌋，所以这三档的网格最高分仍未确定，现有纪录可能比上界低 1 个或更多单位。d = 3、n = 8 恰好相反：网格最高分已确定，连续最优值只被夹在宽度小于 2 × 10⁻²⁰ 的区间里。

0. 记号与四个工具

答案是 n 个非零向量 v₁, …, vₙ ∈ ℝᵈ。对 d 元子集 S，Vₛ 为这些行组成的 d × d 矩阵，Rₛ = det(Vₛ)² / ∏|vᵢ|²（乘积取 i ∈ S），由 Hadamard 不等式 0 ≤ Rₛ ≤ 1。目标 V = minₛ Rₛ，求最大。本站要求每个坐标在 [−1, 1] 内且至多九位小数，分数是整数 ⌊10¹⁸V⌋（用整数行列式与范数精确计算），显示为 V 截断到 12 位小数。本文的四档为 (d, n) = (3, 6)、(3, 8)、(3, 10)、(4, 8)。

V 在以下操作下不变：任一行乘以非零数（包括 −1）、行的重排、对所有行施加同一个正交变换（包括反射）。因此可取单位行 u₁, …, uₙ，记 pₛ = det(Uₛ) 为按递增顺序排列的有向子式。若某个 pₛ = 0，则 V = 0，下面的上界都显然成立；否则令 m = minₛ |pₛ| > 0，xₛ = |pₛ|/m ≥ 1，yₛ = log xₛ ≥ 0，于是 V = m²。

引理 0.1（加权 Cauchy–Binet）。 取行权重 a₁, …, aₙ ≥ 0（至少 d 个为正），bₛ 为 S 中权重之积。Cauchy–Binet 给出 det(Σ aᵢuᵢuᵢᵀ) = Σₛ bₛpₛ²。左边矩阵半正定，迹为 Σaᵢ（各行是单位向量），对它的 d 个特征值用算术–几何平均，行列式至多 (Σaᵢ/d)ᵈ。所以

m² · Σₛ bₛxₛ² ≤ (Σᵢ aᵢ / d)ᵈ, 特别地 m² · Σₛ xₛ² ≤ (n/d)ᵈ.

全取 1 时右端在 (3, 6)、(3, 8)、(3, 10)、(4, 8) 分别为 8、512/27、1000/27、16。不加权的等号要求 UᵀU = (n/d)I，即紧框架。于是任何对 F(y) = Σₛ bₛ exp(2yₛ) 的下界都直接给出 V = m² 的上界。

引理 0.2（Grassmann–Plücker 符号条件）。 记 p(i, j, k) 为按给定顺序取行的子式（乱序时带置换符号）。d = 3 时，对每一行 i 与不同于 i 的 a < b < c < e：

p(i,a,b)·p(i,c,e) − p(i,a,c)·p(i,b,e) + p(i,a,e)·p(i,b,c) = 0,

共 n·C(n − 1, 4) 条：n = 6、8、10 时为 30、280、1 260 条。d = 4 时有两类：两个公共行加四个其他行的三项恒等式（n = 8 时 420 条），以及对 3 元集 I 与 5 元集 J = {j₁ < … < j₅} 的 Σₖ (−1)ᵏ p(I, jₖ)·p(J ∖ jₖ) = 0（jₖ ∈ I 的项为 0；|I ∩ J| = 2、1、0 时分别有 3、4、5 个非零项）。在没有零子式的实框架中，一条恒等式的非零项不可能全部同号；这是只关于符号向量的条件。符号型固定后，若某条恒等式恰有一项与其余项异号，取绝对值并除以 m² 得到

x(A)·x(B) = Σₖ x(Cₖ)·x(Dₖ)

即一个乘积等于其余乘积之和。

引理 0.3（正星形式）。 d = 3：取一行作为第 0 行，把其余各行投影到与 u₀ 正交的平面上（用 u₀ 定向），得到 wᵢ，则 p(0, i, j) = det₂(wᵢ, wⱼ)。没有零子式时这些 wᵢ 非零且两两不平行。取一条避开所有 wᵢ 的过原点直线，把每个 wᵢ（即对应的行 uᵢ）翻到同一侧，再按角度排序重排各行，则对所有 i < j 有 p(0, i, j) > 0。d = 4 时在与 u₀、u₁ 正交的平面里做同样的事，得到全部 p(0, 1, i, j) > 0。所以每个没有零子式的实框架都与一个 V 相同、经过第 0 行（d = 4 时第 0、1 行）的子式全为正的框架等价，称为正星形式。剩下的自由符号位：(3, 8) 为 35 个，(3, 10) 为 84 个，(4, 8) 为 55 个。

引理 0.4（对数凸对偶）。 固定一个符号型，对用到的每条恒等式 j（形如引理 0.2 的 x(Aⱼ)x(Bⱼ) = Σₖ x(Cⱼₖ)x(Dⱼₖ)）令

gⱼ(y) = y(Aⱼ) + y(Bⱼ) − log Σₖ exp(y(Cⱼₖ) + y(Dⱼₖ)).

log-sum-exp 是凸函数，所以 gⱼ 是凹函数，并且该符号型的每个真实框架都满足 gⱼ(y) = 0。给定 bₛ ≥ 0，F(y) = Σₛ bₛ exp(2yₛ) 是凸函数；对非负权重 wⱼ，L = F − Σ wⱼgⱼ 也是凸函数。任取正参考向量 x⁰，令 y⁰ = log x⁰、c = ∇L(y⁰)，即 cₛ = 2bₛ(x⁰ₛ)² − Σⱼ wⱼ ∂gⱼ/∂yₛ(y⁰)，其中 ∂gⱼ/∂yₛ 在 S ∈ {Aⱼ, Bⱼ} 处为 1，在右边乘积 k 的两个子式处为 −x⁰(Cⱼₖ)x⁰(Dⱼₖ)/Σₗ x⁰(Cⱼₗ)x⁰(Dⱼₗ)：都是 x⁰ 的有理函数。若 c 逐分量非负，则对每个真实的 y（y ≥ 0，gⱼ(y) = 0）：

F(y) = L(y) ≥ L(y⁰) + c·(y − y⁰) ≥ F(y⁰) − Σⱼ wⱼ gⱼ(y⁰) − c·y⁰.

第一个不等号是凸函数的支撑超平面，第二个用了 c ≥ 0、y ≥ 0。参考点不必可实现。x⁰ 与 w 为有理数时，右端是有理数与正有理数对数的组合，用严格的有理区间包住对数即可得到严格下界。若 x⁰ 恰是某个真实最优框架，所用恒等式在 x⁰ 处精确成立（gⱼ(y⁰) = 0），且在 x⁰ₛ > 1 处 cₛ = 0，则 c·y⁰ = 0，下界正好是 F(y⁰)，完全不需要计算对数。再由引理 0.1 得 V = m² 的上界。

符号筛选只是必要条件：保留下来的符号型可能没有任何实框架实现。这不影响结论：对每个保留下来的符号型都给出 V 的上界，就覆盖了所有实框架。

1. d = 3，n = 6：连续最优值 (2/5)(1 − 1/√5)

共 20 个子式。用整体反射使 p(0, 1, 2) > 0，余下 2¹⁹ = 524 288 种符号。30 条三项恒等式排除其中 512 384 种，保留 11 904 种。行置换与逐行变号（再把整体符号归一）把它们分成四个轨道，大小为 1 920、5 760、3 840、384。每个实框架都可以在轨道内移到该轨道的代表符号型，V 不变。

前三个轨道。 对每个代表，用引理 0.4（bₛ = 1、30 个有理权重、有理参考点）得到 Σx² 的下界，分别大于 40.794、42.180、54.224，都大于 40。由引理 0.1，V = m² ≤ 8/Σx² < 1/5，而 (2/5)(1 − 1/√5) ≈ 0.2211 > 1/5。

二十面体轨道。 第四个轨道含下面的二十面体框架。令 φ = (1 + √5)/2，按二十面体框架中子式的绝对值为 2φ² 或 2φ，把 20 个子式标为 H 或 L，各十个。这只是给指标集起名，并不假设一般框架中 H 比 L 大。在这个符号型中，30 条恒等式的异号项都是 H·H 乘积，另两项分别是 L·L 与 L·H 型：

H(A)·H(B) = L(C)·L(D) + L(E)·H(F),

并且每个 H 在左边恰出现 6 次、作为右边 L·H 中的 H 恰出现 3 次。因为所有 x ≥ 1，L(C)L(D) ≥ 1、L(E)H(F) ≥ H(F)，所以 H(A)H(B) ≥ 1 + H(F)。把 30 个不等式相乘得 (∏H)⁶ ≥ (∏(1 + H))³，即 (∏H)² ≥ ∏(1 + H)。记 g 为十个 H 的几何平均。展开 ∏(1 + H) = Σₖ eₖ(H)，对每个初等对称和的 C(10, k) 项用算术–几何平均得 eₖ(H) ≥ C(10, k)gᵏ，所以 ∏(1 + H) ≥ (1 + g)¹⁰。于是 g²⁰ ≥ (1 + g)¹⁰，g² ≥ 1 + g，g ≥ φ。再由算术–几何平均 ΣH² ≥ 10g² ≥ 10φ²，而 ΣL² ≥ 10。所以 Σx² ≥ 10(1 + φ²) = 5(5 + √5)，引理 0.1 给出

V = m² ≤ 8 / (5(5 + √5)) = 2(5 − √5)/25 = (2/5)(1 − 1/√5).

等号。 六个向量 (0, ±1, φ)、(±1, φ, 0)、(φ, 0, ±1) 是正二十面体的六条对顶点轴，模长平方都是 1 + φ²，Σvᵢvᵢᵀ = 2(1 + φ²)I。它们的 20 个子式绝对值为 2φ（十个）和 2φ²（十个），最小归一化体积为 (2φ)²/(1 + φ²)³ = (2/5)(1 − 1/√5)，取到上界。

网格。 V* = 0.221114561800016824287…，⌊10¹⁸V*⌋ = 221114561800016824。包中的合法答案把 (1, φ) 换成相邻斐波那契数之比 (433494437, 701408733)/10⁹，保留零坐标与符号，分数为 221114561800016823。九位网格的最高分是这两个整数之一，本文不判定是哪一个。

2. d = 3，n = 8：网格最高分 66035176782963417

这一档只证明整数分数：任何实框架（不论精度）都有 ⌊10¹⁸V⌋ ≤ 66035176782963417，而一个九位小数答案恰好达到它。连续最优值没有确定。证明中没有把答案限制到盒内再枚举整数点；它是一个直接压到下一个整数之下的连续上界。

符号型。 把框架化为正星形式（引理 0.3）：经过第 0 行的 21 个子式为正，35 个符号自由。对 2³⁵ 种赋值做完整深度优先搜索，只在某条三项恒等式（共 280 条）三项同号时剪枝，恰好保留 24 698 个符号型。

135 个类。 证明包给出 135 个没有零子式的 8 × 3 整数矩阵。对每个矩阵，枚举前两行的有序选择、这两行的符号与整体反射（其余各行的符号与顺序随之由正星形式确定），得到它的全部正星像。这 135 个像集合两两不交，都在 24 698 个符号型之内，且并集恰为全部 24 698 个。所以每个没有零子式的实框架都可以在不改变 V 的前提下变成与其中某个矩阵完全相同的符号型。

排除 134 类。 对每一类，引理 0.4（bₛ = 1，280 个有理权重）给出 Σx² 的下界，配合引理 0.1（常数 512/27），134 类都有 V < 0.061110 < 31/500 = 0.062。剩下一类（键 8000b7ffbffdec）由同样的证书只得到 V < 0.0703，由一个加权证书（八个正有理行权重）得到 V < 0.06667 < 1/15。下面的合法答案约为 0.066035 > 0.062，所以最优框架只能在这一类中。

混合证书。 为了压到下一个整数之下，证书混合了四个加权 Cauchy–Binet 不等式。第 k 个原子有非负有理行权重 aₖ,ᵢ（六个为正、两个为 0），Cₖ = (Σᵢ aₖ,ᵢ / 3)³，bₖ,ₛ 为 S 中权重之积除以 Cₖ，引理 0.1 给出 m² Σₛ bₖ,ₛxₛ² ≤ 1。取和为 1 的非负有理混合权重 μₖ，令 bₛ = Σₖ μₖbₖ,ₛ，得 m² Σₛ bₛxₛ² ≤ 1。证书写在另一种行顺序的整数代表上；用同样的带符号置换作用计算它 56 个子式符号的全部正星像，恰好等于剩下这一类的像集合，所以它对整类成立，不假设竞争框架有任何对称性。引理 0.4 用这些 bₛ、一个有理参考点和 280 个非负权重（其中 31 个为正），得到有理数 L：

L > 10¹⁸ / 66035176782963418, V = m² ≤ 1/L < 0.066035176782963418.

余量很小：L 比边界只大约 2.2 × 10⁻¹⁶（相对 1.5 × 10⁻¹⁷），所以对数要用高精度区间包住。结合其余 134 类与零子式的情形，任何实框架都有 ⌊10¹⁸V⌋ ≤ 66035176782963417。

达到。 合法答案为 (0.315504791, ±0.431761327, ±0.494892959)（四种符号组合）、(0.267570676, ±0.794328857, 0)、(0.500878354, 0, ±0.289746371)。对全部 56 个三元组做精确有理计算，分数恰为 66035176782963417（显示 0.066035176782）。所以网格最高分就是这个整数，等于当前纪录。

连续问题仍未解决。 答案的精确 V 与 1/L 把连续最优值夹在 [0.066035176782963417006…, 0.066035176782963417024…] 中，宽度小于 2 × 10⁻²⁰，但它的精确值没有确定，这一档的连续最优值仍是开放问题。

3. d = 3，n = 10：连续最优值 2(3 − √5)/27

阈值。 令 Q = 2(3 − √5)/27 ≈ 0.0565876，T = 113/2000 = 0.0565 < Q（在 ℚ(√5) 中精确比较）。若 V < T，框架已低于 Q。否则十行中任取八行组成的框架都有 V ≥ T，因为它的 56 个三元组都在原来的 120 个之中。§2 的 135 类中，有 131 类的已证上界 (512/27)/Lₖ 低于 T；其余四类（键 8000b7ffbffdec、8000f7ffbfffec、80010fffffff93、800187fdffff80）共有 296 个正星像。

重叠表搜索。 把十行框架化为以第 0 行为中心的正星形式：经过第 0 行的 36 个子式为正，84 个符号自由。对第 1–9 行中每个 7 元子集 J（共 C(9, 7) = 36 个），八行框架 {0} ∪ J 按递增顺序仍是正星形式，所以它的 35 个自由符号必须是 296 个允许型之一。对 84 位做完整搜索：只传播某张表的全部剩余允许行都一致的值，其他情况两边都分支。最后恰好剩下 6 个赋值。

十二面体符号类。 令 ρ = φ − 1 = 1/φ。十行 (1, ±1, ±1)、(0, ±ρ, φ)、(±ρ, φ, 0)、(φ, 0, ±ρ) 是正十二面体的十条对顶点轴。在 ℚ(√5) 中精确计算它 120 个子式的符号及全部正星像，恰好得到这 6 个赋值。所以每个 V ≥ T 的框架在带符号置换下都属于十二面体符号型。

精确对偶。 十二面体各行 |v|² = 3，Σvᵢvᵢᵀ = 10I，最小子式绝对值为 √5 − 1。令 ξₛ = |pₛ|/(√5 − 1) ∈ ℚ(√5)，则 ξₛ ≥ 1，Σξₛ² = 375 + 125√5。用引理 0.4：bₛ = 1，参考点 x⁰ = ξ，1 260 条三项恒等式，权重在 ℚ(√5) 中、全部非负、其中 180 个为正。每条用到的恒等式在 ξ 处精确成立，故 gⱼ(log ξ) = 0；全部 120 个残差 cₛ ≥ 0，且 ξₛ ≠ 1 时 cₛ = 0，故 c·log ξ = 0。于是不计算任何对数，整个符号类上 F(y) ≥ 375 + 125√5，再由引理 0.1：

V = m² ≤ (1000/27) / (375 + 125√5) = 8 / (27(3 + √5)) = 2(3 − √5)/27.

十二面体框架取到等号：它的最小归一化体积为 (√5 − 1)²/3³ = (6 − 2√5)/27 = Q，已对全部 120 个三元组精确验证。

网格。 Q = 0.056587557222237800265…，⌊10¹⁸Q⌋ = 56587557222237800；包中的合法答案分数为 56587557222237799。九位网格最高分是这两个整数之一，本文不判定。

关于唯一性。 证明包另附一个推论：在共同正交变换、行顺序和行缩放意义下，十二面体方向是唯一的最优解（L 的严格凸性迫使 y = log ξ，引理 0.1 取等迫使紧框架，有向子式全相等再加紧框架迫使相差一个正交变换）。这是证明包的主张，我们的检查程序没有检验它，本文的结论也不依赖它。

4. d = 4，n = 8：连续最优值 a²

符号型。 正星形式（引理 0.3）使 15 个子式 p(0, 1, i, j) 为正，剩 55 个符号。符号筛选用 3 元集 I 与 5 元集 J 至多共享两行的全部恒等式：2 576 条，其中三项 1 680 条、四项 840 条、五项 56 条。我们对 55 位做完整搜索，不做任何对称约化，访问 54 884 515 个节点，保留 6 693 736 个符号型。

2 628 个类。 证明包给出 2 628 个代表符号型。对每个代表，枚举前三行的有序选择、它们的符号与整体反射（其余各行的符号与顺序随之确定），得到它的像集合；这些像集合两两不交，并集恰为 6 693 736 个符号型。（包中用 24 元对称群从 279 078 个规范型出发得到同一集合；那 279 078 个都在我们的集合中，但我们的计数不依赖这个群。）

排除 2 627 类。 记 q = a²。根的隔离区间给出 q > (223/1000)² > 31/625 = 0.0496。以下证书使 2 627 类都有 V < 31/625。

2 600 类用算术–几何平均证书。符号型固定后，每条三项恒等式（两个公共行加四个其他行，共 420 条）为 x(A)x(B) = x(C)x(D) + x(E)x(F)，由算术–几何平均 x(A)x(B) ≥ 2√(x(C)x(D)x(E)x(F))，即 hⱼ·y ≥ log 2，其中 hⱼ 在 A、B 处为 +1、在 C、D、E、F 处为 −1/2。取非负有理权重 wⱼ，S = Σwⱼ，g = Σwⱼhⱼ，证书验证全部 70 个分量 gᵢ ≤ 1。因为 y ≥ 0，Σyᵢ ≥ g·y ≥ S log 2；对 exp 用 Jensen，F = Σexp(2yᵢ) ≥ 70·exp((S/35)·log 2)。引理 0.1（常数 16）给出

V ≤ (16/70)·exp(−(S/35)·log 2) < 31/625 只要 (S/35)·log 2 > log(1000/217).

另外 27 类用引理 0.4（bₛ = 1），恒等式取全部在该符号型中恰有一项异号的三项、四项和五项恒等式，得到 F > 10000/31，从而 V < 31/625；这 27 个上界中最大的约为 0.047585。

构造与八次方程的来历。 设 A、B、C 是包中的 8 × 8 对称整数矩阵（对角线为 0，元素为 0、±1），满足 A² = I、B² = C² = 2I、AB + BA = AC + CA = BC + CB = 0。对实数 a、b、c 令 H = aA + bB + cC，则 H² = (a² + 2b² + 2c²)I。在归一条件

a² + 2b² + 2c² = 1

下 H² = I；H 对称且迹为 0，所以特征值为四个 +1、四个 −1。于是 G = I + H 对角线为 1，G² = 2G，秩为 4，G = UUᵀ，U 为 8 × 4 矩阵，各行是单位向量，UᵀU = 2I（紧框架）。G 的主子式就是子式的平方：det G[S, S] = det(Uₛ)²。把 G 的全部 70 个 4 阶主子式展开成 a、b、c 的多项式，共 12 种。在归一条件下其中三种化简为：

1 − 2b² − 2c² = a²（8 个）； 1 − a² − b² − 2c² − 2abc + a²c² = (b − ac)²（8 个）； (1 − a² − b² − c²)² − 4b²c² = (c² − b²)²（4 个）。

第一族自动等于 a²。要求另两族也等于 a²，取符号 b − ac = a 与 c² − b² = a，连同归一条件共三个方程。把 c² − b² = a 的两倍加到归一条件上得 4c² + a² = 1 + 2a，即 c² = (1 + 2a − a²)/4，b² = c² − a = (1 − 2a − a²)/4。把 b = a(1 + c) 平方后代入，得 2a²c = N/4，其中 N = a⁴ − 2a³ − 6a² − 2a + 1，即 c = N/(8a²)。再平方，N² = 64a⁴c² = 16a⁴(1 + 2a − a²)，而

N² − 16a⁴(1 + 2a − a²) = a⁸ − 4a⁷ + 8a⁶ − 12a⁵ + 30a⁴ + 20a³ − 8a² − 4a + 1 = 0.

p 在 223/1000 与 28/125 处异号，且 p′ 在其间恒为负，所以那里恰有一个根 a ≈ 0.2231217381；于是 b = a(1 + c) ≈ 0.3549553542、c ≈ 0.5908595785 均为正。在 ℚ[a]/(p) 中精确计算，20 个主子式恰等于 a²，其余 50 个用有理隔离区间证明严格大于 a²。所以这个框架取到 V = a² = q ≈ 0.049783309999360073。q 还满足 q⁸ + 28q⁶ + 480q⁵ + 1222q⁴ − 960q³ + 284q² − 32q + 1 = 0（不主张这是极小多项式）。

最后一类的紧上界。 构造的符号型经一个明确的带符号置换后恰为剩下的那一类（掩码 0x67f9b440190400000）。它的有向子式由 pₛ = det G[J, S]/p(J) 精确恢复（J 为一个取等的 4 行块，p(J) = a），参考点 x⁰ₛ = |pₛ|/a 属于 ℚ[a]/(p)：20 个等于 1，50 个大于 1。用引理 0.4（bₛ = 1，全部恰有一项异号的恒等式），72 个权重在 ℚ[a]/(p) 中且在根处为正（用隔离区间验证）：每条用到的恒等式在 x⁰ 处精确成立；70 个残差都 ≥ 0，在 x⁰ₛ > 1 的 50 个子式处恰为 0；所以 c·log x⁰ = 0，F(y) ≥ F(log x⁰) = 16/a²（精确）。由引理 0.1，整类上 V ≤ 16/F ≤ a²。结合其余 2 627 类都低于 31/625 < a²，连续最大值就是 a²。

网格。 ⌊10¹⁸a²⌋ = 49783309999360072。包中的合法九位小数答案分数为 49783309999020748，低 339 324 个单位。九位网格最高分在这两者之间，本文不判定。

关于唯一性。 证明包同样主张最优方向在共同正交变换、行顺序和行缩放意义下唯一（论证与 §3 相同）。这是证明包的主张，我们的检查程序没有检验它，本文的结论也不依赖它。

5. 我们的核验

证明包由 zzzcy #308 于 2026 年 10 月 6 日通过邮件提交，投稿时注明借助 AI 生成。按本站规定，我们没有运行包中的任何脚本，只读取它的数据（符号表、代表、对偶权重、参考点、矩阵与答案），每一步都由我们为这次审核编写的程序判定：

• tools/p65-certificates.py（Python，精确有理运算）：把用到的每条 Grassmann–Plücker 恒等式展开成一般行列式的多项式逐项验证（三阶 30、280、1 260 条，四阶 2 996 条）；自己的带符号置换作用先在随机实矩阵上与直接计算的行列式符号比对；ℚ(√5) 与 ℚ[a]/(p) 的运算自己实现；对数用自己的 480 位定点 atanh 级数加尾项界、向外取整，并与 150 位十进制对数自检；所有值、构造和网格答案都精确重算。
• tools/p65-rank4-signs.cpp（C++）：d = 4 的正星符号型完整枚举（无对称约化，6 693 736 个，54 884 515 个节点）与 2 628 个代表的覆盖（像不越界、不重叠、无遗漏）；Python 端再把前 25 类的 C++ 像集合与自己的计算比对，并随机重算 12 个类的大小。

各档的结果：

• d = 3、n = 6：我们的 30 条恒等式与包中列表相同；完整筛选得 11 904 个符号型，四个轨道（1 920、5 760、3 840、384）与包中目录逐一相同；三个对数凸对偶的下界 40.794415、42.180710、54.224291 都大于 40；二十面体符号型中 30 条恒等式都是 H·H = L·L + L·H，每个 H 左边 6 次、右边 3 次；V* 与 ⌊10¹⁸V*⌋ = 221114561800016824 精确计算，包中答案分数 221114561800016823。
• d = 3、n = 8：我们的搜索（196 131 个节点）得 24 698 个符号型，与包中列表相同；135 个整数代表的像不交且覆盖全部；135 个对偶全部重放，134 类低于 0.061110；加权证书低于 1/15；混合证书的代表与例外类的像集合相同，L − 10¹⁸/66035176782963418 ≈ 2.237 × 10⁻¹⁶ > 0；答案分数恰为 66035176782963417。
• d = 3、n = 10：包中的基础文件（代表、对偶、符号型列表）与 n = 8 的逐字节相同；阈值 113/2000 下剩四类、296 个允许型（与包中列表相同）；我们的表搜索用 83 个节点得到 6 个赋值（包中用不同的分支顺序报告 75 与 35 个节点，结果相同），恰为十二面体的全部正星像；ℚ(√5) 对偶 180 个正权重、120 个残差非负且在 ξₛ ≠ 1 处为 0，F ≥ 375 + 125√5；⌊10¹⁸Q⌋ = 56587557222237800，包中答案 56587557222237799。
• d = 4、n = 8：枚举与覆盖如上；2 600 个算术–几何平均证书与 27 个对数凸证书全部低于 31/625；G 对称、对角线为 1、G² = 2G；20 个主子式等于 a²，50 个更大；包中的关系列表与我们重建的相同；72 个正权重，70 个残差非负，F(log x⁰) = 16/a²；⌊10¹⁸a²⌋ = 49783309999360072，包中答案 49783309999020748。

2026 年 10 月 6 日的完整运行打印 ALL REQUESTED CHECKS PASSED，耗时约 100 秒，大部分是 C++ 枚举。§4 中三族主子式的化简与恒等式 N² − 16a⁴(1 + 2a − a²) = p(a) 是为本文另外推导的，并用一段简短的多项式脚本核对过；检查程序验证的是它们的结果（20 个主子式在 ℚ[a]/(p) 中精确等于 a²）。重放命令（--pkg 指向解压后的证明包，只读取其中的数据）：

python tools/p65-certificates.py all --pkg <dir> --cxx g++

也可以只跑一档：参数 n6、n8、n10 或 d4n8；d4n8 会用 g++ -O2 -std=c++17 编译 tools/p65-rank4-signs.cpp。没有检验的部分：两个唯一性推论，以及包中的数值发现过程与它自带的审查。所有数值与包中一致，推理中没有发现错误。

贡献与范围

二十面体与十二面体的对顶点轴是经典构型；d = 4 的构造与四档的最优性论证都来自这份证明包，包中没有主张文献优先权。本项采纳的贡献记 zzzcy #308 一次永久 +2 证明分。

三档连续最优值按本站对连续定理的惯例结项；它们的九位网格最高分仍未确定，新的答案仍可能超过当前纪录，但不会超过上表的上界。d = 3、n = 8 的网格最高分已确定，连续最优值仍开放。

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