P67 周长固定矩形内的可变半径圆：n = 3–9 已证明最优

结果

n = 6 的值为 27/28 + (19/14)p + (3/14)p² − (6/7)p³ − (29/28)p⁴ − (3/14)p⁵，p 是 p⁶ + 6p⁵ + 9p⁴ + 4p³ − 9p² − 2p − 1 唯一的正根（系数只变号一次，由 Descartes 符号法则正根恰有一个），p ≈ 0.815815509453887。n = 9 的值是一个 28 元接触方程组在指定小盒内唯一解的半径和，没有已知闭式；表中给出前 15 位，本站检查器的有理包络宽度为 1.8 × 10⁻³⁹。连续最优值都不在网格上；除 n = 4 外，网格最大值都低于 ⌊10⁹Mₙ⌋。

0. 记号

矩形为 [0, W] × [0, H]，W + H = 2，左下角在原点，W 由答案选取。圆 i 的圆心 (xᵢ, yᵢ)、半径 rᵢ。约束是每个圆的四条墙 xᵢ − rᵢ ≥ 0、W − xᵢ − rᵢ ≥ 0、yᵢ − rᵢ ≥ 0、H − yᵢ − rᵢ ≥ 0，以及每对圆 (xᵢ − xⱼ)² + (yᵢ − yⱼ)² − (rᵢ + rⱼ)² ≥ 0（允许相切）。记 z = (x₀, …, xₙ₋₁, y₀, …, yₙ₋₁, r₀, …, rₙ₋₁, W) ∈ ℝ³ⁿ⁺¹，H = 2 − W，目标 S(z) = Σrᵢ。

证明在闭松弛 K 上进行：允许 rᵢ ≥ 0，其余约束不变。K 中每个坐标都在 [0, 2] 内，K 是紧集，所以 S 在 K 上取得最大值，记为 Mₙ。本站的每个答案都在 K 中；下面找到的最优排布半径全为正，所以 Mₙ 也是本站问题的最大值，并且可以取到。

本站答案的每个数最多九位小数，所以 Z = 10⁹z 是 [0, 2·10⁹]³ⁿ⁺¹ 中的整数向量，分数是整数 ΣRᵢ（Rᵢ = 10⁹rᵢ）。

x ↦ W − x、y ↦ H − y 以及交换 (x, y, W, H) ↦ (y, x, H, W) 生成矩形的 8 个对称；连同圆的重新编号，它们保持 K、S 和九位网格不变。下文“合同”指相差这样一个对称和一次重新编号。

1. 坐标顺序与角度松弛

引理 1.1（顺序与对称约化）。 给圆编号使 x₀ ≤ x₁ ≤ … ≤ xₙ₋₁（并列时任取），令 π 为按 y 从小到大排列的编号序列（并列时取相容的顺序）。三个生成对称对 π 的作用是：左右翻转把每个 πₖ 换成 n − 1 − πₖ，上下翻转把 π 倒序，交换坐标轴把 π 换成逆置换 π⁻¹（新的 x 顺序就是旧的 y 顺序）。所以只需对每个轨道取一个代表。检查器验证所选代表的轨道恰好覆盖全部 n! 个排列：n = 3、4、5 直接取全部 6、24、120 个；n = 6、7、8、9 分别用 115、694、5 282、46 066 个代表覆盖 720、5 040、40 320、362 880 个排列。

引理 1.2（角度行）。 对 i < j，若 j 在 π 中排在 i 之后取 σ = 1，否则 σ = −1，则 Δ = (xⱼ − xᵢ, σ(yⱼ − yᵢ)) 落在闭第一象限。令

u(t) = ((1 − t²)/(1 + t²), 2t/(1 + t²)), 0 ≤ t ≤ 1,

它以有理方式参数化四分之一单位圆。非零 Δ 有唯一的方向参数 t；Δ = 0 时圆对约束迫使 rᵢ = rⱼ = 0，t 可任取。若 t ∈ [a, b]，记 u = u(a)、v = u(b)（有理单位向量，a × b 表示 a₁b₂ − a₂b₁），则

u × Δ ≥ 0, Δ × v ≥ 0, (u + v)·Δ ≥ (1 + u·v)(rᵢ + rⱼ).

证明：前两式说明 Δ 在 u、v 张成的锥里，即 Δ = αu + βv，α, β ≥ 0。由 |u| = |v| = 1，(u + v)·Δ = (1 + u·v)(α + β)；三角不等式给出 α + β ≥ |Δ| ≥ rᵢ + rⱼ；u、v 夹角不超过 π/2，所以 1 + u·v > 0。Δ = 0 时三式都显然成立。

一个“格”由顺序 π 和角度盒 ∏[aₖ, bₖ] ⊂ [0, 1]ᴾ（P = n(n − 1)/2 个圆对）组成，给出多面体 {z ∈ [0, 2]³ⁿ⁺¹ : Az ≤ b}：4n 条墙行、n − 1 条顺序行 xᵢ ≤ xᵢ₊₁、每对 3 行，全部系数有理。顺序为 π、方向落在盒内的每个排布都满足它。这是外逼近，不假设任何接触结构。

引理 1.3（对偶上界）。 对任意 λ ≥ 0 和仿射函数 f·z + f₀，在该多面体上

f·z + f₀ ≤ λ·b + f₀ + 2 Σⱼ max(0, (f − λA)ⱼ).

因为 f·z = λ·(Az) + (f − λA)·z，λ·(Az) ≤ λ·b，而每个 zⱼ ∈ [0, 2]。所有证书都是这种形式：存储的只是有理乘子 λ，上界由检查器从问题定义重新算出。

引理 1.4（覆盖）。 若有限个闭盒都在立方体 [0, 1]ᴾ 内、体积之和为 1、内部两两不交，则它们的并是整个立方体。否则补集是立方体中非空的相对开集，体积为正，而这些盒的并体积恰为 1，矛盾。检查器对每个顺序的盒组用精确整数体积和逐对扫描验证这两个条件，所以每个排布至少落在一个格中，边界方向和坐标并列都包括在内。

2. 分支排除：锁定所有高分排布

对每个 n 取一个略低于最优值的有理阈值 T、半宽 ε 和有理中心 z⁰，令 B = {z : |zⱼ − z⁰ⱼ| ≤ ε，对所有 j}。每个格属于以下两类之一：

• 排除：引理 1.3 取 f = 半径指示向量，给出该格上 S < T；
• 隔离：添加行 −S ≤ −T（只在 S ≥ T 的假设下使用），并给出一个对称 g（是否交换坐标轴、两个翻转、一个重新编号）。g(z) 的每个坐标都是 z 的有理仿射函数；2(3n + 1) 组乘子由引理 1.3 给出 ±g(z)ⱼ ≤ ±z⁰ⱼ + ε，即 g(z) ∈ B。

n = 3–6 时一层覆盖就够了。n = 7、8 分两层：首层覆盖中上界 ≥ T 的格（“难格”）按顺序归组，每组取角度盒的逐坐标包络，检查器验证每个难格都含在它的包络内；再把每个包络细分成闭子盒（覆盖由引理 1.4 验证），每片要么排除、要么隔离。包络是超集，排除了包络也就排除了其中的难格；不同包络之间、包络与已排除的格之间不要求不交。n = 9 见 §5。

n = 7、8、9 的“排除”一栏前一个数是首层中直接排除的格，后一个是细分后排除的子盒。

引理 2.1。 K 中每个满足 S ≥ T 的排布都合同于 B 中的一点。证明：由引理 1.1 和 1.4，它（经对称后）落在首层的某个格里；若该格是难格，它也落在该格所在包络的某个子盒里。含它的格或子盒不能是排除的，所以是隔离的，其对称 g 把它送进 B。

3. 盒内的接触方程组

在 B 中选定 M = 3n + 1 个约束（选定接触），组成映射 G = (g₁, …, g_M)：墙约束是仿射函数，圆对约束是 (xᵢ − xⱼ)² + (yᵢ − yⱼ)² − (rᵢ + rⱼ)²。记 J(z) = DG(z)。墙行是常数；圆对行的非零元 ±2(xᵢ − xⱼ)、±2(yᵢ − yⱼ)、−2(rᵢ + rⱼ) 在 B 上的变化都不超过 4ε。记 J₀ = J(z⁰)，K₀ = (J₀ᵀ)⁻¹（精确有理求逆），c 为半径指示向量，λ₀ = −K₀c，并令 θ 为 |K₀| 与“4ε 窗口”矩阵乘积的 ∞ 范数。于是对任何每个元素都落在 J₀ 的 4ε 窗口内的矩阵 J——包括 J(z)（z ∈ B）以及 B 中任一线段上 J 的平均——都有

‖K₀(Jᵀ − J₀ᵀ)‖∞ ≤ θ.

检查器精确验证三件事：(i) θ < 1；(ii) λ_low = min λ₀ − θ/(1 − θ)·‖λ₀‖∞ > 0；(iii) 未选的每条墙和每个圆对在 B 上有严格正的下界（墙用仿射界，圆对用每个差值 ±2ε 的区间平方），半径、W、H 在 B 上为正。由 Neumann 级数，Jᵀ = J₀ᵀ(I + K₀(Jᵀ − J₀ᵀ)) 可逆，且 λ(J) = −(Jᵀ)⁻¹c 满足 ‖λ(J) − λ₀‖∞ ≤ θ/(1 − θ)·‖λ₀‖∞，所以 λ(J) 的每个分量 ≥ λ_low > 0。对 J = J(z)，这就是 ∇S = c = −J(z)ᵀλ(z)。

圆的编号与证书中心 z⁰ 一致（也与 §4 的列表一致）；θ、λ_low 与下界都是检查器算出的精确有理数的近似值。n = 9 用 ε = 1/1000，其余 ε = 1/10⁴。

引理 3.1（最大点处选定接触全部取等）。 若 z ∈ B 是 S 在 K 上的局部最大点，则 G(z) = 0。证明：设 gₗ(z) > 0。J(z) 可逆，由反函数定理存在光滑曲线 z(τ)，使 G(z(τ)) = G(z) − τeₗ（τ ≥ 0 很小）。其余选定约束不变，gₗ 仍为正；未选约束、半径与 W、H 在 B 上严格为正，由连续性对小 τ 仍为正。所以曲线可行（它不必留在 B 内，也不必保持编号顺序）。而 J(z)z′(0) = −eₗ，故 dS/dτ = c·z′(0) = −λ(z)ᵀJ(z)z′(0) = λₗ(z) > 0，与局部最大矛盾。

引理 3.2（单射）。 G 在 B 上是单射。对 z, w ∈ B，G(z) − G(w) = J̄(z − w)，J̄ = ∫₀¹ J(w + s(z − w)) ds。B 是凸的，J̄ 的每个元素都在 4ε 窗口内，所以 J̄ 可逆，G(z) = G(w) 推出 z = w。（逐点可逆不足以推出单射；这里用的是平均矩阵的估计。）

引理 3.3（见证）。 §4 的显式排布 w* 在精确代数运算下满足：全部 4n + P 个约束 ≥ 0，恰好 M 个为 0 且正是表中的选定接触，半径全正，w* ∈ B，并且 S(w*) = αₙ > T。（n = 9 的 w* 由 §5 的 Banach 证书给出。）

定理 3.4。 Mₙ = αₙ。证明：w* 可行，所以 Mₙ ≥ αₙ > T。取一个最大点（K 紧），由引理 2.1 它合同于某个 z ∈ B，z 仍是最大点；引理 3.1 给出 G(z) = 0；又 G(w*) = 0，引理 3.2 给出 z = w*。所以 Mₙ = S(w*) = αₙ。

推论 3.5（唯一性）。 同一论证说明每个最大点都合同于 w*：最优排布在矩形对称和重新编号意义下唯一。这不需要额外的证书，只用到上面已核验的事实。

4. n = 3–8 的最优排布

记 s = √2。下面每个圆写成 (x, y; r)，顺序即编号 0, 1, …。这些等式都在精确代数中验证：n = 3、4、5、7、8 用基 1, s, t, st 与关系 s² = 2、t² = A + Bs 的四次扩域（取正实根时求值是环同态，所以代数恒等式对实数成立；每个逆元都用乘法回代检查；符号由 80 位有理区间判定）。n = 6 在 ℚ[p]/(P) 中计算，P(p) = p⁶ + 6p⁵ + 9p⁴ + 4p³ − 9p² − 2p − 1：检查器验证 P 在区间 [0.815815509453887086444194883699, 0.815815509453887086444194883700] 两端异号、P′ 在区间上为正，所以区间内恰有一个根。

n = 3

r = (14 − 4s)/41，R = 2r，H = 4r，W = (26 + 16s)/41 ≈ 1.186035。圆：(R, R; R)，(W − r, r; r)，(W − r, H − r; r)。S = 4r = 8(7 − 2√2)/41 = 8/(7 + 2√2)。大圆贴左、下、上三墙，两个小圆各贴右墙和一条水平墙，三圆两两相切。

n = 4

W = H = 1（最优矩形是正方形）。t = √(4 − 2s)，R = 1 − s/2，r = 2 − s/2 − t。圆：(1 − r, 1 − r; r)，(R, 1 − R; R)，(1 − R, R; R)，(r, r; r)。S = 2R + 2r = 6 − 2√2 − 2√(4 − 2√2)。

n = 5

t = √(1 + 4s)，u = (t − 1)/2（于是 u(u + 1) = √2），R = 2/(u² + 2u + 5)，r = Ru²，a = R(2 − u²)²/(4u²)，W = 4R ≈ 1.110454，H = 2 − W。圆：(W − r, r; r)，(W − R, H − R; R)，(R, H − R; R)，(2R, a; a)，(r, r; r)。S = 2R + 2r + a = (407 + 920√2 − 307√(1 + 4√2) − 34√(2 + 8√2))/712。

n = 6

p 如上，m = (p + 1)(p² + 1)/(4p)，h = (1 + p)²，w = 1 + p² + 2m(p + 1)，R = 2/(h + w)，b = Rp²，a = Rm²，W = Rw ≈ 1.208214，H = Rh，x = R(p² + 2pm)。圆：(x, H − a; a)，(R, R; R)，(W − R, H − R; R)，(b, H − b; b)，(W − x, a; a)，(W − b, b; b)。S = 2(R + a + b)，在 ℚ[p]/(P) 中化为结果表下给出的五次式。

n = 7

t = √(2 − s)，R = 1/(3 + 2t)，r = (2 − s)R，a = (2s − 2)R，W = 4R ≈ 0.882859，H = 2R(1 + 2t)。圆：(r, H/2; r)，(W − r, H/2; r)，(W − R, R; R)，(W − R, H − R; R)，(R, H − R; R)，(R, R; R)，(W/2, H/2; a)。S = 4R + 2r + a = 6R = 6/(3 + 2√(2 − √2))。

n = 8

t、u 同 n = 5，R = 1/(u² + 2u + 2)，r = Ru²，a = R(2 − u²)²/(4u²)，W = 2R(u² + 2u) ≈ 1.048584，H = 4R。圆：(a, H/2; a)，(W/2, H − R; R)，(r, H − r; r)，(r, r; r)，(W/2, R; R)，(W − r, r; r)，(W − a, H/2; a)，(W − r, H − r; r)。S = 2R + 4r + 2a = (3 + 13√2 + √(1 + 4√2) − 5√(2 + 8√2))/4。

对每个 n，检查器还验证闭式的 80 位十进制值与精确包络相差不超过 10⁻⁷⁰（包络宽度小于 10⁻⁷⁸），并在给定对称下 w* 位于 B 内。

5. n = 9

引理 5.1（子集行）。 去掉 9 个圆中的任意一个，剩下的 8 个圆仍在 K（n = 8）中，所以对每个 i，Σⱼ≠ᵢ rⱼ ≤ M₈ = α₈。检查器由 α₈ 的精确包络验证 α₈ < 1.430221728，于是每个格添加 9 条子集行 Σⱼ≠ᵢ rⱼ ≤ 1.430221728，共 161 行（36 墙、8 顺序、108 圆对、9 子集）。n = 9 的证明因此依赖 n = 8 的定理 3.4。

覆盖与隔离。 46 066 个顺序代表、663 484 个格，每格的对偶上界都小于 1.529（作为副产品，九个圆的半径和全局小于 1.529）。T = 1.52831276 时，15 978 个格的上界 ≥ T；每个都被直接细分（不用包络），共 34 310 片：34 253 片 S < T，57 片在 S ≥ T 下被隔离进 B = z⁰ ± 1/1000，z⁰ 是九位小数点。所以引理 2.1 对 n = 9 成立。

盒内估计。 28 个选定接触见 §3 的表（圆 2 不贴墙）。在 ε = 1/1000 的 B 上，θ ≈ 0.0940 < 1，λ_low ≈ 0.0837 > 0，44 个未选约束的下界 ≈ 0.2046 > 0，所以引理 3.1、3.2 对 n = 9 成立。

引理 5.2（Banach 根）。 证书给出 50 位小数的有理点 c 和立方体 Q = {z : |z − c|∞ ≤ 10⁻⁴⁰}。令 P = J(z⁰)⁻¹（精确有理求逆，验证 PJ(z⁰) = I），N(z) = z − PG(z)。在 Q 上 J 的元素与 J(c) 相差至多 4·10⁻⁴⁰，于是对 z, z′ ∈ Q，N(z) − N(z′) = (I − PJ̄)(z − z′)，且

κ = ‖ |I − PJ(c)| + |P| · (4·10⁻⁴⁰ windows) ‖∞ ≈ 7.85 × 10⁻⁹, η = ‖PG(c)‖∞ ≈ 4.74 × 10⁻⁵¹, η + κ·10⁻⁴⁰ < 10⁻⁴⁰.

所以 ‖N(z) − c‖∞ ≤ η + κ·10⁻⁴⁰ < 10⁻⁴⁰：N 把 Q 映入自身，且是压缩，由 Banach 不动点定理在 Q 中恰有一个不动点 q*。P 可逆，所以 q* 是 G 在 Q 中唯一的零点。44 个未选约束在 Q 上的下界 ≈ 0.2085 > 0，半径与 W、H 为正，所以 q* 是合法排布。半径和是线性的，S(q*) ∈ [Σc_r − 9·10⁻⁴⁰, Σc_r + 9·10⁻⁴⁰]：

1.528312768293629548847967448450491425410401 ≤ M₉ ≤ 1.528312768293629548847967448450491425412201.

检查器还验证 Q ⊂ B（每个坐标 |cⱼ − z⁰ⱼ| + 10⁻⁴⁰ ≤ 1/1000）且包络下端 > T。以 w* = q* 代入定理 3.4 与推论 3.5：M₉ = S(q*)，最优排布在对称与重新编号下唯一。近似地，W ≈ 1.017300，H ≈ 0.982700，九个半径按编号为 0.176412、0.115815、0.174625、0.192626、0.140793、0.140793、0.218210、0.176412、0.192626；本站纪录答案是它的九位小数近似。

6. 网格：n = 3–8

记 τ = 纪录 + 1。乘以 10⁹ 后，格的行变成 AZ ≤ 10⁹b，Z 为整数向量；对称保持网格。要证明的是：没有满足全部约束且 ΣRᵢ ≥ τ 的整数 Z。

n = 4. 202 个格的对偶上界全部小于 1.006788475（最大约 1.00678847493），所以 10⁹S < 1 006 788 475，整数分数至多 1 006 788 474。这也直接由 α₄ ≈ 1.0067884746690 得到。

其余 n：分支树。 n = 3、5、6 的树根是首层覆盖的每个格配上整数盒 [0, 2·10⁹]³ⁿ⁺¹（检查器验证每个顺序的根覆盖整个角度立方体，顺序覆盖全部排列）。n = 7、8 先用网格版首层覆盖：上界 < τ/10⁹ 的格直接排除，其余的含在按顺序取的包络里，这些包络（各配满整数盒）恰好就是树根。节点有两种划分：整数划分把某个坐标的 [L, U] 分成 [L, k] 与 [k + 1, U]；角度划分把 [a, b] 分成 [a, c] 与 [c, b]。两者都覆盖父节点的全部整数点；检查器验证子节点的盒、每个节点恰有一个父节点、无环且全部可达。

叶子证书：在行中加入目标行 −ΣRᵢ ≤ −τ，记 B̂ = 10⁹b（含目标行），叶子的整数盒 L ≤ Z ≤ U，乘子 λ ≥ 0，a = λA，e = c − a。每片叶子满足下面两式之一：

λ·B̂ + Σⱼ eⱼ·(Uⱼ if eⱼ ≥ 0, else Lⱼ) < τ or Σⱼ aⱼ·(Lⱼ if aⱼ ≥ 0, else Uⱼ) > λ·B̂.

第一式：ΣRᵢ = a·Z + e·Z ≤ λ·B̂ + e·Z，与 ΣRᵢ ≥ τ 矛盾（上界叶）。第二式：左边是 a·Z 在盒上的最小值，而可行点满足 a·Z ≤ λ·B̂（不可行叶）。所以每片叶子都不含分数 ≥ τ 的网格排布。

每个 n 的纪录答案在整数中逐一检查（W + H = 2·10⁹、半径为正、全部墙与圆对约束），分数恰为表中的网格最大值。

7. 网格：n = 9

τ = 1 528 312 767。分数 ≥ τ 的网格排布有 S ≥ τ/10⁹ > T，由 §5 它合同于 B 中一点 z，且仍在网格上。

引理 7.1（局部化）。 对 B 中的可行点 z，令 J̄ 为 J 在 q* 到 z 的线段上的平均（线段在 B 内）。G(z) = G(z) − G(q*) = J̄(z − q*)，且 λ̄ = −J̄⁻ᵀc 的每个分量 ≥ λ_low，所以

M₉ − S(z) = c·(q* − z) = λ̄·G(z) ≥ λ_low ‖G(z)‖₁ (G(z) ≥ 0).

又 J̄ = (I + E)J₀，‖E‖₁ ≤ θ，所以 z − q* = J₀⁻¹(I + E)⁻¹G(z)，

|zᵢ − q*ᵢ| ≤ maxⱼ |(J₀⁻¹)ᵢⱼ| · ‖G(z)‖₁/(1 − θ) ≤ maxⱼ |(J₀⁻¹)ᵢⱼ| · (α⁺ − τ/10⁹) / ((1 − θ) λ_low),

其中 α⁺ 是 §5 包络的上端，α⁺ − τ/10⁹ ≈ 1.29 × 10⁻⁹。再加上 |q* − c| ≤ 10⁻⁴⁰，向内取整到整数，得到每个 Zᵢ = Cᵢ + δᵢ（Cᵢ = 10⁹z⁰ᵢ）的偏移范围：每个坐标只剩 8 到 32 个整数（最宽的是 −16 ≤ δ ≤ 15）。检查器重新推导出的范围与证书存储的树根完全相同。

盒上的线性必要条件。 12 条选定墙在 δ 中是仿射的。选定圆对 (i, j)：记中心处的整数差 (d₁, d₂)、半径和 ρ，偏移差 (ξ, ζ)、偏移半径和 ω，则

(d₁ + ξ)² + (d₂ + ζ)² − (ρ + ω)² = d₁² + d₂² − ρ² + 2d₁ξ + 2d₂ζ − 2ρω + (ξ² + ζ² − ω²) ≥ 0,

在当前整数盒上 ξ² + ζ² − ω² ≤ Q_max = max ξ² + max ζ² − min ω²，所以 −2d₁ξ − 2d₂ζ + 2ρω ≤ d₁² + d₂² − ρ² + Q_max 是必要条件。再加目标行 −Σδ_r ≤ ΣC_r − τ，共 29 行 Aδ ≤ b。

整数树。 从局部化盒出发，每次整数划分 δᵢ ≤ k 与 δᵢ ≥ k + 1。全部 655 个节点、327 次划分、328 片叶子；每片叶子给出 λ ≥ 0，使 λ·b + Σⱼ max(gⱼLⱼ, gⱼUⱼ) < 0（g = −λA），即 λ·(b − Aδ) 在盒上恒为负，与 Aδ ≤ b 矛盾。最小的分离量约 1.09 × 10⁻⁴。所以没有分数 ≥ 1 528 312 767 的网格排布；纪录 1 528 312 766（在整数中检查全部 36 条墙与 36 对圆）就是网格最大值，比 ⌊10⁹M₉⌋ = 1 528 312 768 低两个单位。

8. 我们的核验

证明包由 zzzcy #308 于 2026 年 10 月 6 日通过邮件提交，投稿时注明借助 AI 生成。按本站规定，我们没有运行包中的任何脚本，只读取它的 JSON/JSONL 数据（覆盖格与乘子、包络、树、隔离与 Banach 证书、局部化盒、网格答案），用自己写的检查器 tools/p67-certificates.py 判定每一步。它从问题定义重新构造全部行（墙、顺序、锥行、子集行），以 Python 的 Fraction 精确有理运算重算每个对偶上界（不读取包中存储的上界数值），按引理 1.4 检查每组覆盖，用三个生成元的轨道检查顺序覆盖全部排列，在精确代数中重建 §4 的每个见证并由其恰为零的约束确定选定接触，重算 §3 的 θ、λ_low 与下界、§5 的 Banach 常数和 §7 的局部化盒，并逐一检查树的结构与每片叶子。

全部 16 个部分都通过，总耗时约 106 秒（多进程）。包中写出的每个证书计数（格、难格、包络、子盒、节点、叶子）都与我们的输出一致；只有覆盖检查中的两两比较次数取决于扫描方式，n = 7、8 的包络细分与包中所记不同，这不影响结论。复算方法：把证明包解压到一个目录（其中有 _expanded/ 和 n = 9 网格附录 P67_n9_grid_optimum_1528312766_appendix/），然后运行

python tools/p67-certificates.py --pkg <package-dir> [--jobs N] all

也可以只列出部分名：n3c n3g n4c n4g n5c n5g n6c n6g n7c n7g n8c n8g n9local n9cover n9iso n9grid（n9iso 与 n9grid 都要求 n9cover 也通过，n9cover 用到 n8c 的定理）。任何一步失败都会报错退出。

程序检查的是有限的精确不等式；把它们连成定理的分析步骤是引理 1.2–1.4、2.1、3.1–3.3、5.2 与 7.1，我们为本页逐条重新推导，与包中的论证一致。推论 3.5 的唯一性由同样已核验的事实推出，包只对 n = 9 明确陈述了它。包中另有 n = 3 接触方程的手工求解，以及关于半径为零的圆的说明；本证明不需要它们，我们没有单独审查。

贡献与范围

这些构型此前已知：Erich Friedman 的 Circles in Rectangles 表把 n = 3–5、7–9 的构型归于 David W. Cantrell（2011），证明包把 n = 6 也归于他；该表的 n = 6 一栏目前印的是不可能的 1.525+，所以本站这一档以 Berthold、Kamp、Mexi、Pokutta 与 Polik 的公开仓库为比较基准，本站各档的参考答案也来自该仓库。本证明说明这些构型是最优的，并确定了网格上的最高分。本项采纳的贡献记 zzzcy #308 一次永久 +2 证明分。

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