周长固定矩形内的可变半径圆
文献中也称circle packing in a rectangle of fixed perimetervariable radius circle packingmaximum sum of radii
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在一个周长为 4、长宽均可改变的矩形内放入 n 个内部互不重叠的圆。每个圆的半径也可独立改变，使半径之和最大。
严格定义
- 容器width>0、height>0，且 width+height=2；左下角固定为 (0,0)
- 提交恰好 n 个圆，每个写成 [x,y,r]，半径严格为正
- 约束每个圆完整位于矩形内；圆的内部两两不相交，相切允许
- 目标最大化所有半径的精确整数和
帮助理解
容器和货物一起优化
固定正方形时只能调整圆；这里把一点周长从高度移给宽度，会改变所有贴边圆和空隙。它是容器选型与装箱设计耦合的最小模型。
为什么不平均
相同半径通常浪费曲边之间的空隙。大圆决定矩形比例，小圆填补接触图中的孔洞；增加一个圆甚至可能令整个长宽比跳到另一种结构。
逐个 n 竞争
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引用与数据
这一题族的全部子题、权威分数、证明状态、坐标与来源，都在下面这个稳定地址里，以 CC BY 4.0 发布。分数会随纪录变化，引用时请一并记录文件里的 generatedAt。
GET https://minmaxarena.com/data/variable-circles-in-fixed-perimeter-rectangle.json
第一个冻结版将在下个月初生成。在那之前引用请注明访问日期。
BibTeX（点开复制）
@misc{minmaxarena-variable-circles-in-fixed-perimeter-rectangle,
title = {{Variable-radius circles in a fixed-perimeter rectangle} (P67)},
author = {{MinMax Arena}},
year = {2026},
note = {Machine-verified records, accessed 2026-08-29},
url = {https://minmaxarena.com/problems/variable-circles-in-fixed-perimeter-rectangle},
license = {CC BY 4.0}
}DISCUSSION
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