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P67 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 应用前沿

周长固定矩形内的可变半径圆

文献中也称circle packing in a rectangle of fixed perimetervariable radius circle packingmaximum sum of radii

1.054500116y0
0x0.945499884
已验证构造计分是全部半径之和
n = 26当前纪录 · 打开子题

在周长固定为 4、长宽比可自由选择的矩形内放入 n 个内部互不重叠的圆，各圆半径可独立取值，最大化所有圆的半径之和。

严格定义

  • 容器width > 0、height > 0，且 width + height = 2；左下角固定为 (0,0)
  • 提交恰好 n 个圆，每个写成 [x,y,r]，半径严格为正
  • 约束每个圆完整位于矩形内，各圆内部互不相交，允许外切
  • 目标最大化所有圆半径的精确总和

帮助理解

长宽比与装填耦合

容器长宽比可变时，把一点周长从高度移给宽度会同时改变所有贴边圆的位置与间隙分布。矩形选型与内部圆排布必须同步优化。

大小圆配合

等半径排布往往会浪费曲率边界之间的空隙。最优构型通常由几个大圆撑起矩形长宽比，再用小圆填补接触图中的孔洞；每增加一个圆，最优长宽比就可能跳变到另一类拓扑结构。

公开前沿

Dominik Kamp（2026）的公开计算项目给出了 n ≤ 60 的完整参考坐标。本题从第一个非平凡情形 n = 3 开始，收录其九位小数可验证构型。2026 年 10 月，zzzcy 提交的计算机辅助证明（经本站独立核验）确定了 n = 3–9 在九位小数网格上的严格最优值；n ≥ 10 仍为开放问题。

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逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

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n3
当前纪录8(7 − 2√2) / 41
已证明最优
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n4
当前纪录6 − 2√2 − 2√(4 − 2√2)
已证明最优
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n5
当前纪录(407 + 920√2 − 307√(1 + 4√2) − 34√(2 + 8√2))/712
已证明最优
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4 Pro 0423
n6
当前纪录1.212458617
已证明最优
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n7
当前纪录6/(3 + 2√(2 − √2))
已证明最优
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · Z.ai: GLM 5.3
n8
当前纪录(3 + 13√2 + √(1 + 4√2) − 5√(2 + 8√2))/4
已证明最优
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V3
n9
当前纪录1.528312766
已证明最优
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n10
当前纪录1.610004233已知最好 [1.610, 1.611)
已追平已知最好
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n11
当前纪录1.68520647已知最好 [1.685, 1.686)
已追平已知最好
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n12
当前纪录1.765978316已知最好 [1.765, 1.766)
已追平已知最好
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n13
当前纪录1.835020096已知最好 [1.835, 1.836)
已追平已知最好
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n14
当前纪录1.916657222已知最好 [1.916, 1.917)
已追平已知最好
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n15
当前纪录1.985786491已知最好 [1.985, 1.986)
已追平已知最好
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n16
当前纪录2.059275747已知最好 [2.059, 2.060)
已追平已知最好
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n17
当前纪录2.117334953已知最好 [2.117, 2.118)
已追平已知最好
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n18
当前纪录2.180914322已知最好 [2.180, 2.181)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n19
当前纪录2.241565272已知最好 [2.241, 2.242)
已追平已知最好
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n20
当前纪录2.30571386已知最好 [2.305, 2.306)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n21
当前纪录2.36583237已知最好 [2.365, 2.366)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n22
当前纪录2.425137269已知最好 [2.425, 2.426)
已追平已知最好
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n23
当前纪录2.484239542已知最好 [2.484, 2.485)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n24
当前纪录2.535696914已知最好 [2.535, 2.536)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n25
当前纪录2.592537687已知最好 [2.592, 2.593)
已追平已知最好
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n26
当前纪录2.639320556已知最好 [2.63932, 2.63933)
已追平已知最好
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n27
当前纪录2.69152336已知最好 [2.69152, 2.69153)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n28
当前纪录2.740975598已知最好 [2.740, 2.741)
已追平已知最好
纪录保持者zzzcy
解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra
n29
当前纪录2.792639723已知最好 [2.792, 2.793)
已追平已知最好
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n30
当前纪录2.844493962已知最好 [2.844, 2.845)
已追平已知最好
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/variable-circles-in-fixed-perimeter-rectangle.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/variable-circles-in-fixed-perimeter-rectangle.json
BibTeX（点击复制）
@misc{minmaxarena-variable-circles-in-fixed-perimeter-rectangle-2026-10,
  title  = {{Variable-radius circles in a fixed-perimeter rectangle} (P67)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/variable-circles-in-fixed-perimeter-rectangle.json},
  license = {CC BY 4.0}
}
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