1. 两个引理
引理 1。 立方体内任意四点的四面体体积 ≤ 1/3。
V = |det(B − A, C − A, D − A)| / 6
固定 B、C、D，行列式是 A 的仿射函数，其绝对值是凸函数，在立方体上的最大值在某个顶点取到。依次把 A、B、C、D 换成顶点，体积不减（换成同一顶点时体积为 0，也不影响上界）。8 个顶点中任取 4 个共 70 种，逐一计算，最大值为 1/3，由 (0,0,0)、(1,1,0)、(1,0,1)、(0,1,1) 取到。
引理 2。 立方体内任意五点的凸包体积 ≤ 1/2。
固定四点 S，f(p) = vol(conv(S ∪ {p})) 是 p 的凸函数：若 conv S 是立体，f(p) = vol(conv S) + Σ_F max(0, ℓ_F(p))，其中 ℓ_F(p) 是以 conv S 的面 F 为底、p 为顶的有向锥体体积（p 在 F 外侧时为正），每项都是仿射函数的正部；若 S 共面，f(p) 等于底面积乘 p 到该平面的距离再除以 3，也是凸的。所以同样可以把五点逐一换成顶点而凸包体积不减。8 个顶点中任取 5 个共 56 种，最大凸包体积为 1/2，例如 (0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,1)：体积 1/6 的角四面体加体积 1/3 的正四面体。
2. 上界
若有四点共面，相应四面体体积为 0，m = 0。以下设任意四点不共面。由 Radon 定理，三维空间中的五点可分成两组，使两组的凸包相交；在一般位置下只有两种分法：一点落在另外四点的四面体内部，或两点连成的线段穿过另外三点构成的三角形内部。
情形一：E 在四面体 ABCD 内部。 E 把 ABCD 分成 EBCD、AECD、ABED、ABCE 四个四面体，每个体积都至少为 m，故由引理 1
4m ≤ vol(ABCD) ≤ 1/3, m ≤ 1/12 < 1/6.
情形二：线段 DE 穿过三角形 ABC 内部，交于点 P。 此时 D、E 在平面 ABC 两侧，五点的凸包是三角双锥 DABC ∪ EABC。P 把三角形 ABC 分成 PAB、PBC、PCA，而 P 在线段 DE 上，所以四面体 ABDE 恰好是 DPAB ∪ EPAB，另两个同理。三个“跨越”四面体 ABDE、BCDE、CADE 内部互不相交，并起来恰好是整个双锥。由引理 2：
3m ≤ vol(ABDE) + vol(BCDE) + vol(CADE) = vol(conv) ≤ 1/2, m ≤ 1/6.
两种情形都有 m ≤ 1/6。∎
3. 取等
取 A = (0,0,0)、B = (1,1,1)、C = (0,1,0)、D = (1,0,0)、E = (0,0,1)。去掉 A 的四面体 BCDE 是正四面体，体积 1/3；去掉 B、C、D、E 中任一点的四个四面体体积都是 1/6。最小值为 1/6。坐标都是整数，所以在本站的九位小数网格上精确达到，分数为 10²⁷ / (6·10²⁷)。当前纪录（#72，2026-09-01）已经是这个值，纪录持有人不变。
贡献与核验
NUE_13 #31 于 2026 年 10 月 5 日通过邮件投稿此证明，并注明由 DeepSeek-V4-Pro 生成、本人未完全核对。极值竞技场逐步核验，结论成立。我们补全了两处：情形二中 D、E 位于平面 ABC 两侧来自 Radon 定理，引理 2 的凸性需要上面的正部分解。原稿称三个跨越四面体“缺少底面附近的区域”，实际上它们恰好填满双锥；不等式方向不受影响。两个引理中的顶点情形由我们逐一枚举。本项采纳的贡献记一次永久 +2 证明分。
这是 P72 第一个确定最优值的子题。空间版 Heilbronn 问题的其他 n 仍然开放。