区域定义
采用本站坐标，圆心为 O=(1,0)，直径从 (0,0) 到 (2,0)：
H = {(x,y) : (x−1)²+y² ≤ 1, y ≥ 0}.
对 H 内 n 个互不相同的点组成的集合 S，记 δ(S) 为最小两点欧氏距离。区域包含所有边界。
1. 每个 60° 扇形的直径为 1
从 O 沿 60° 和 120° 两条射线分割 H，得到三个半径为 1、圆心角为 60° 的闭扇形。对同一扇形内任意两点，设它们到 O 的距离为 0≤s≤r≤1，夹角 θ≤60°。由余弦定理，
d² = r²+s²−2rs cos θ ≤ r²+s²−rs
= r²−s(r−s) ≤ r² ≤ 1.
若其中一点就是 O，距离也直接不超过 1。圆心与弧上任一点达到等号，故每个扇形的直径恰为 1。
2. 四点和五点的上界
把每个点分配给包含它的一个扇形；位于公共边界时任选一个即可。四个或五个点分配到三个扇形，由抽屉原理，至少两个点被分到同一扇形，距离不超过 1。因此 δ(S)≤1。论证不需要任何对称性假设。
3. 达到 1 的构型
n=4 时，取直径两端点、圆心和圆弧最高点，六个点对的距离都至少为 1：
S₄ = {(0,0), (1,0), (1,1), (2,0)}.
n=5 时，取圆心和半圆弧上四个等角间隔的点：
S₅ = {(0,0), (1/2,√3/2), (3/2,√3/2), (2,0), (1,0)}.
圆心到其余四点的距离均为 1。其余点对的角间隔为 60°、120° 或 180°，距离平方相应为 1、3 或 4。因此两个构型都有 δ=1，与上界结合，定理得证。∎
4. 为什么五点的有限小数坐标不能精确达到 1
设五个点的所有两点距离都至少为 1。由前面的不等式，两个非圆心点若夹角小于 60°，距离就严格小于 1。若五点都不是 O，按极角排序后，相邻四个角间隔均至少为 60°，总跨度至少 240°，不可能容纳在 180° 的半圆内。因此其中一点必须是 O。
其余四点到 O 的距离必须等于 1，因而都在圆弧上。三个相邻角间隔均至少为 60°，总跨度又至多为 180°，故角度只能依次为 0°、60°、120°、180°。所以作为无序点集，S₅ 是唯一的五点最优构型，其中两个纵坐标必须是无理数 √3/2。
有限小数必为有理数，因此有限小数的五点证书不可能精确达到 1。投稿纪录使用 y=0.866025403，略小于 √3/2。其精确距离平方与本站向下截断的公开显示值分别为：
δ² = 1/4 + (0.866025403)² = 0.999999998641312409,
显示值(δ) = 0.999999999 < 1.
这证明的是连续几何问题的最优值，并不证明该小数证书在所有九位小数网格构型中最优。公开目标仍严格保留为 1，不用近似数替换，也不放宽容差把纪录标成最优。n=4 已精确达到上界并封盘；n=5 保留实际分数，仍可改进有限小数证书。
贡献与核验
HwaterB #40 投稿了三个扇形的抽屉原理论证，并指出五点的精度限制；四点精确构型与五点小数近似构型也来自他的已有纪录。极值竞技场核验论证，补全扇形直径不等式、边界分配和五点等号情形分析，完成这份中英文正文与配图。扇形分割思路归于 HwaterB。
配套精确算术测试核验构型中的全部点对，拒绝向外舍入后越界的点，并防止低于 1 的分数被标成已达最优。上界来自上述解析证明，不依赖数值采样。