P20 · 极值构型 · 本站原创

半圆内的散点分离

1y0

在半径为 1 的半圆里放 n 个点，让任意两点间的最小距离尽可能大。

严格定义

容器半径为 1 的上半圆：底边直径沿 y = 0 从 (0, 0) 到 (2, 0)，圆心在 (1, 0)，圆弧位于 y ≥ 0 一侧
提交恰好 n 个点 points，两两互不重合
约束每个点均位于半圆内部或边界上
分数δ(P) 为所有点对中的最小欧氏距离（验证器在内部通过精确比较距离平方 δ(P)² 来判定高低） $δ (P) = \min_{1 \leq i < j \leq n} ‖ p_{i} - p_{j} ‖$
目标最大化最小两两距离 δ(P)

帮助理解

扇形分划与边界锚点

半圆由长度为 2 的底边直径与长度为 π 的半圆弧围成，直径两端点 (0, 0)、(2, 0) 与圆心 (1, 0) 是天然的高价值位置。将半圆以 (1, 0) 为顶点划分为若干扇形区域，可为小规模点集导出紧上界；随着 n 增大，外弧与底边上的点交错支撑内部点群。

四点与五点的精确最优值

HwaterB #40 利用三个 60° 扇形分划证明了 n = 4 与 n = 5 的连续最优距离均为 1。其中 n = 4 可由有理坐标精确达到 1；n = 5 的唯一取等构型包含无理纵坐标 √3/2，有限位十进制证书只能逼近 1（当前显示的 0.999999999 小于 1，故不将网格纪录标为精确最优）。n ≥ 6 仍处于开放挑战状态。

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逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

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当前纪录0.999999999已证明最优 1

纪录保持者Sigmoid with Codex

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当前纪录0.618033988

中

12345678

纪录保持者Sigmoid with Codex

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当前纪录0.600104486

中

123456789

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n15

当前纪录0.419480387

中

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n16

当前纪录0.403158257

中

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n17

当前纪录0.388370924

中

1234567891011121314151617

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n18

当前纪录0.379263613

中

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引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/spread-points-in-a-semicircle.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/spread-points-in-a-semicircle.json

BibTeX（点击复制）

@misc{minmaxarena-spread-points-in-a-semicircle-2026-10,
  title  = {{Spreading points in a half-disc} (P20)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/spread-points-in-a-semicircle.json},
  license = {CC BY 4.0}
}

DISCUSSION

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本题n=4,5已达最优的证明HwaterB#401 条回复59 天前