证明由 zzzcy #308 于 2026 年 10 月 6 日通过邮件提交，投稿时注明借助 AI 生成。本站没有运行投稿附带的任何脚本，只读取其中的数据（系数、覆盖叶子、答案点），下文的每个计算步骤都由本站自己的程序重新判定，每个推理步骤都经人工重新推导。
这里 𝕋² = [0, 1)²，点允许重合，Lₙ 中 j = 0, …, n − 1，k₈ = 5、k₁₃ = 5、k₂₁ = 13、k₃₄ = 13；最小最坏积分误差是 √E*ₙ。网格分数是整数 n²·10³⁶·E。n = 8 时 L₈ 本身在网格上；n = 13、21、34 时网格最小值严格大于连续最小值，但它的公开显示（√E 向上取整到 12 位小数）与 √E*ₙ 的显示相同。
结果
| n | k | E* | √E* | 数值 | 网格最小值（显示） | 网格上取到 E* |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 8 | 5 | 249/2048 | √498/64 | 0.348686150069084332… | 0.34868615007 | 是 |
| 13 | 5 | 1491/28561 | √1491/169 | 0.228482065991808552… | 0.228482065992 | 否 |
| 21 | 13 | 4371/194481 | √4371/441 | 0.149917321324858008… | 0.149917321325 | 否 |
| 34 | 13 | 12690/1336336 | √12690/1156 | 0.097448010495771215… | 0.097448010496 | 否 |
E* 写成 N/n⁴ 的形式；约分后 n = 21、34 分别为 1457/64827、6345/668168。网格最小值的精确整数分数见 §5。
0. 记号
点集 P = {p₁, …, pₙ} ⊂ 𝕋²，坐标按模 1 理解，允许重合。B₂(t) = t² − t + 1/6 是二阶 Bernoulli 多项式。令
k(t) = 1 + 6B₂(t) = 2 − 6t + 6t² (0 ≤ t ≤ 1), C(t₁, t₂) = k(t₁)·k(t₂),
k 以周期 1 延拓。k(1 − t) = k(t)，在 [0, 1] 上 1/2 ≤ k ≤ 2，k(0) = 2，所以 C(0) = 4。误差平方为
E(P) = (1/n²) ∑ᵢ ∑ⱼ C(pᵢ − pⱼ) − 1 （含 i = j 的 n 项）
本站取 S = 10⁹，答案坐标为 Xᵢ/S，整数 0 ≤ Xᵢ < S。对网格上的差 t = |Xᵢ − Xⱼ|，每个因子 k(t/S) = (2S² − 6tS + 6t²)/S²，所以 n²S⁴E 是整数，这就是分数（越小越好）；公开显示的是 √E 向上取整到 12 位小数。
Fourier 展开。 在 [0, 1] 上 B₂(t) = π⁻² ∑ cos(2πmt)/m²（m 取遍正整数），因此
k(t) = ∑ r(m)·exp(2πimt) (m ∈ ℤ), r(0) = 1, r(m) = 3/(π²m²) (m ≠ 0), Ĉ(h) = r(h₁)·r(h₂),
E(P) = ∑ Ĉ(h)·|(1/n) ∑ᵢ exp(2πi h·pᵢ)|² (h ∈ ℤ² ∖ {0}).
所以 E ≥ 0，且 E 是等权积分公式 (1/n)∑f(pᵢ) 在以 C 为再生核的 Hilbert 空间单位球上的最坏误差的平方；公开指标是它的平方根 √E。
为什么是 6。 在一族核 1 + γB₂ 中，γ 是每个非零频率相对常数项的权重：r(m) = γ/(2π²m²)。γ = 6 是本站固定的选择。它使非零频率的权重之和恰为 1（k(0) = 1 + 6·(1/6) = 2），并使 k 成为整系数多项式，于是网格答案的 E 是分母整除 n²S⁴ 的有理数，本站可以用整数精确计分。改变 γ 会改变坐标轴上与轴外频率之间的平衡，最优值随之改变，最优点集也可能改变；下面的每一个证书都只针对 γ = 6，对其他权重不作任何断言。
对称性。 E 在平移、重新编号、t₁ ↦ −t₁、t₂ ↦ −t₂ 和交换两个坐标下不变。用网格点平移、以及反射 X ↦ (S − X) mod S，都把网格答案变成网格答案。
1. 连续下界：辅助函数
对 0 ≤ p ≤ q 取对称余弦乘积
ψ(p, p)(t) = cos 2πpt₁ · cos 2πpt₂, ψ(p, q)(t) = cos 2πpt₁ · cos 2πqt₂ + cos 2πqt₁ · cos 2πpt₂ (p < q),
令 b = ∑ a(p, q)·ψ(p, q)（0 ≤ p ≤ q ≤ M），g = C − b。
引理 1.1（Fourier 系数）。 b̂(0) = a(0, 0)。h ≠ 0 时：四个轴频率 (0, ±q)、(±q, 0) 上 b̂ = a(0, q)/2；四个频率 (±p, ±p) 上 b̂ = a(p, p)/4；0 < p < q 时八个频率 (±p, ±q)、(±q, ±p) 上 b̂ = a(p, q)/4。每个频率恰属于一个基函数，所以“对所有 h ≠ 0 有 b̂(h) ≥ 0”等价于“所有非常数系数 a(p, q) ≥ 0”。常数项 a(0, 0) 没有符号要求。
引理 1.2。 若非常数系数都非负，则对任意 n 个点
∑ᵢ ∑ⱼ b(pᵢ − pⱼ) = ∑ b̂(h)·|∑ᵢ exp(2πi h·pᵢ)|² ≥ n²·a(0, 0) (h ∈ ℤ²).
引理 1.3（下界）。 若此外在整个 𝕋² 上 C ≥ b，则 E(P) ≥ E♭ := a(0, 0) − b(0)/n + 4/n − 1。确切地说，有恒等式
n²·(E(P) − E♭) = ∑ g(pᵢ − pⱼ) (i ≠ j) + ∑ b̂(h)·|∑ᵢ exp(2πi h·pᵢ)|² (h ≠ 0).
证明：把 n 个对角项 C(0) = 4 单独写出；对 i ≠ j 写 C = g + b；补上并减去 n 个对角值 b(0)，再用引理 1.2 的展开。右端两个和都非负。“i ≠ j”只表示下标不同，点可以重合：C ≥ b 在 0 处同样成立。
引理 1.4（取等）。 记 ℓⱼ = (j/n, (kj mod n)/n)。E(Lₙ) = E♭ 当且仅当 g 在每个非零格差 ℓᵢ − ℓⱼ 处为 0，且每个 b̂(h) > 0 的 h ≠ 0 都有 ∑ⱼ exp(2πi h·ℓⱼ) = 0。由于 h·ℓⱼ ≡ j(h₁ + kh₂)/n，这个和在 h₁ + kh₂ ≡ 0（mod n）时为 n，否则为 0；所以只需 b 的支撑避开对偶格 {h : h₁ + kh₂ ≡ 0 (mod n)}。g ≥ 0 在这些点取最小值 0，所以那里 ∇g = 0 也必然成立。
证书
每个系数精确写成 A(ζ) + B(ζ)/π，ζ = exp(2πi/4n)，A、B 是有理系数多项式，按分圆多项式 Φ₄ₙ 约化（次数小于 φ(4n) = 24、24、64）；n = 8 时每个系数都是 a + (c + d√2)/π 的形式，a、c、d 为有理数。下面所有恒等式都在 ℚ(ζ)[q] 中检查，q 是代表 1/π 的形式变量；π 是超越数，所以它们推出实数恒等式。Aₙ 记折叠到 [0, 1/2]² 的非零格差（下表分子统一除以 n），称为接触点。
| n | k | M | 基函数 | 正系数 | 恰为 0 | 最小正系数 | a(0, 0) | b(0) | 系数域 | |Aₙ| |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 8 | 5 | 6 | 22 | 12 | 9 | 1.12·10⁻⁵ | 0.903930 | 2.258783 | ℚ(√2)[1/π] | 4 |
| 13 | 5 | 8 | 40 | 22 | 17 | 4.36·10⁻⁵ | 0.959563 | 2.795666 | ℚ(ζ₅₂)[1/π] | 6 |
| 21 | 13 | 12 | 81 | 45 | 35 | 1.01·10⁻⁷ | 0.982278 | 3.155849 | ℚ(ζ₈₄)[1/π] | 10 |
| 34 | 13 | 20 | 219 | 123 | 95 | 2.66·10⁻⁷ | 0.992142 | 3.409959 | ℚ(ζ₁₃₆)[1/π] | 17 |
| n | 接触点 Aₙ（分子，除以 n） |
|---|---|
| 8 | (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 4) |
| 13 | (1, 5), (2, 3), (3, 2), (4, 6), (5, 1), (6, 4) |
| 21 | (1, 8), (2, 5), (3, 3), (4, 10), (5, 2), (6, 6), (7, 7), (8, 1), (9, 9), (10, 4) |
| 34 | (1, 13), (2, 8), (3, 5), (4, 16), (5, 3), (6, 10), (7, 11), (8, 2), (9, 15), (10, 6), (11, 7), (12, 14), (13, 1), (14, 12), (15, 9), (16, 4), (17, 17) |
对每个 n 精确检查了：(a) 每个 A、B 在 ζ ↦ ζ⁻¹ 下不变，系数是实数；(b) 在 Aₙ 的每一点和每个未折叠的非零格差处，g = 0 且 ∂g/∂t₁ = ∂g/∂t₂ = 0（用 cos(2πj/n) = (ζ⁴ʲ + ζ⁻⁴ʲ)/2 等，导数除以 2π 后比较）；(c) a(0, 0) − b(0)/n + 4/n − 1 = E*ₙ；(d) 每个非常数系数要么在 ℚ(ζ)[q] 中恰为 0，要么用区间算术（∑ Aⱼ cos(2πj/4n) + π⁻¹ ∑ Bⱼ cos(2πj/4n)）证明严格为正；(e) 正系数的频率都不在对偶格上；(f) 直接有理求和得 E(Lₙ) = E*ₙ。
n = 8 的全部系数
n = 8 的系数足够短，全部列出（q = 1/π）。其余系数 (0, 6), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 3), (2, 5), (3, 5), (3, 6), (4, 5) 恰为 0；正系数的频率都不在对偶格 h₁ + 5h₂ ≡ 0（mod 8）上。
| (p, q) | a(p, q) | ≈ |
|---|---|---|
| (0, 0) | 493842440027/750000000000 + (7/32 + 25√2/64)·q | 0.903930 |
| (0, 1) | 12483565099/2000000000000 + (21/32 + 75√2/128)·q | 0.478897 |
| (0, 2) | −190393701233/3000000000000 + (77/512 + 25√2/128)·q | 0.0723278 |
| (0, 3) | 11014416527/6000000000000 + (−7/32 + 25√2/128)·q | 0.0201270 |
| (0, 4) | −9264052703/1000000000000 + (21/512)·q | 0.00379163 |
| (0, 5) | 1100322699/1000000000000 | 0.00110032 |
| (1, 1) | −184458932879/750000000000 + (35/128 + 25√2/32)·q | 0.192779 |
| (2, 4) | 568240491/1000000000000 | 0.000568240 |
| (3, 3) | 1916668431/500000000000 | 0.00383334 |
| (3, 4) | 64377501/31250000000 | 0.00206008 |
| (4, 6) | 9613447/200000000000 | 0.0000480672 |
| (5, 5) | 189083097/500000000000 | 0.000378166 |
| (5, 6) | 11189537/1000000000000 | 0.0000111895 |
核对：a(0, 0) − b(0)/8 + 1/2 − 1 = 0.903930 − 0.282348 − 0.5 = 0.121582… = 249/2048。
n = 13、21、34 的正系数（四位有效数字；精确值是证书中 ℚ(ζ)[1/π] 的元素）
n = 13：(0,1) 0.5482; (0,2) 0.1106; (0,3) 0.03733; (0,4) 0.01463; (0,5) 0.006789; (0,6) 0.0029; (0,7) 0.001108; (0,8) 0.0001579; (1,1) 0.2847; (1,2) 0.04074; (1,3) 0.00756; (2,5) 0.0009919; (2,6) 0.00127; (2,7) 0.0004111; (2,8) 0.0003298; (3,4) 0.0003959; (3,5) 0.0008458; (3,6) 0.0008645; (3,7) 0.0001527; (5,8) 0.0002331; (7,8) 0.0002006; (8,8) 4.36·10⁻⁵
n = 21：(0,1) 0.5806; (0,2) 0.1314; (0,3) 0.05176; (0,4) 0.0249; (0,5) 0.01338; (0,6) 0.007625; (0,7) 0.004501; (0,8) 0.002651; (0,9) 0.001489; (0,10) 0.0007716; (0,11) 0.0003515; (0,12) 9.806·10⁻⁵; (1,1) 0.3297; (1,2) 0.06465; (1,3) 0.02123; (1,4) 0.007493; (1,5) 0.002407; (1,6) 0.0005253; (2,2) 0.007161; (2,3) 0.0009983; (2,7) 7.056·10⁻⁵; (2,8) 0.0001602; (2,9) 0.0001247; (2,10) 1.359·10⁻⁵; (2,12) 3.232·10⁻⁶; (3,6) 1.476·10⁻⁵; (3,7) 0.0001219; (3,8) 0.0002113; (3,9) 0.0002089; (3,10) 7.562·10⁻⁵; (3,12) 1.128·10⁻⁶; (4,4) 0.0001902; (4,5) 0.0001083; (4,6) 1.361·10⁻⁵; (5,7) 1.79·10⁻⁵; (5,11) 1.022·10⁻⁵; (6,11) 4.672·10⁻⁵; (6,12) 2.584·10⁻⁵; (7,11) 3.492·10⁻⁵; (7,12) 3.418·10⁻⁵; (8,8) 1.01·10⁻⁷; (8,11) 2.321·10⁻⁵; (8,12) 3.138·10⁻⁵; (10,11) 1.117·10⁻⁵; (11,11) 2.773·10⁻⁵
n = 34：(0,1) 0.5955; (0,2) 0.1421; (0,3) 0.05951; (0,4) 0.03098; (0,5) 0.01825; (0,6) 0.01153; (0,7) 0.007646; (0,8) 0.005187; (0,9) 0.00361; (0,10) 0.002562; (0,11) 0.001867; (0,12) 0.001355; (0,13) 0.0009617; (0,14) 0.0006631; (0,15) 0.0004367; (0,16) 0.0002764; (0,17) 0.0001661; (0,18) 8.902·10⁻⁵; (0,19) 4.286·10⁻⁵; (0,20) 1.287·10⁻⁵; (1,1) 0.3506; (1,2) 0.07826; (1,3) 0.03018; (1,4) 0.01391; (1,5) 0.00713; (1,6) 0.003786; (1,7) 0.00197; (1,8) 0.0008997; (1,9) 0.0003207; (1,10) 7.29·10⁻⁵; (2,2) 0.01358; (2,3) 0.0038; (2,4) 0.0009058; (2,5) 0.0001323; (2,10) 6.946·10⁻⁶; (2,11) 3.109·10⁻⁵; (2,12) 5.179·10⁻⁵; (2,13) 5.241·10⁻⁵; (2,14) 4.728·10⁻⁵; (2,15) 2.906·10⁻⁵; (2,16) 9.398·10⁻⁶; (2,20) 8.535·10⁻⁷; (3,3) 0.000721; (3,7) 2.247·10⁻⁵; (3,9) 9.072·10⁻⁶; (3,10) 5.383·10⁻⁵; (3,11) 0.0001052; (3,12) 0.000148; (3,13) 0.0001806; (3,14) 0.0001634; (3,15) 0.0001251; (3,16) 7.165·10⁻⁵; (3,17) 2.482·10⁻⁵; (3,18) 6.764·10⁻⁶; (3,20) 8.34·10⁻⁷; (4,5) 5.764·10⁻⁶; (4,6) 0.0001184; (4,7) 9.419·10⁻⁵; (4,8) 3.146·10⁻⁵; (4,10) 1.344·10⁻⁶; (4,11) 1.361·10⁻⁶; (4,12) 3.572·10⁻⁶; (4,13) 1.345·10⁻⁵; (4,14) 6.353·10⁻⁶; (4,20) 3.957·10⁻⁷; (5,5) 5.163·10⁻⁶; (5,6) 0.0001043; (5,7) 8.278·10⁻⁵; (5,8) 3.238·10⁻⁵; (5,18) 3.842·10⁻⁶; (6,6) 0.0002025; (6,7) 0.0001659; (6,8) 8.69·10⁻⁵; (6,9) 1.71·10⁻⁵; (6,14) 4.208·10⁻⁶; (6,15) 2.907·10⁻⁶; (6,16) 9.991·10⁻⁶; (6,17) 1.588·10⁻⁵; (6,18) 1.402·10⁻⁵; (6,19) 9.468·10⁻⁶; (6,20) 5.897·10⁻⁶; (7,7) 0.0001298; (7,8) 6.746·10⁻⁵; (7,12) 1.747·10⁻⁶; (7,13) 1.361·10⁻⁵; (7,14) 1.225·10⁻⁵; (7,15) 8.643·10⁻⁶; (7,16) 2.412·10⁻⁶; (7,17) 1.874·10⁻⁶; (7,19) 1.869·10⁻⁶; (7,20) 1.297·10⁻⁶; (9,10) 6.95·10⁻⁶; (9,11) 8.076·10⁻⁶; (9,12) 5.671·10⁻⁶; (9,13) 4.58·10⁻⁶; (10,10) 9.355·10⁻⁶; (10,11) 1.076·10⁻⁵; (10,12) 1.117·10⁻⁵; (10,13) 5.374·10⁻⁶; (10,16) 1.598·10⁻⁶; (10,17) 1.374·10⁻⁶; (11,12) 1.493·10⁻⁶; (11,13) 6.047·10⁻⁶; (11,16) 1.785·10⁻⁶; (11,18) 1.376·10⁻⁶; (12,18) 4.146·10⁻⁷; (12,19) 1.167·10⁻⁶; (13,15) 2.749·10⁻⁷; (13,16) 3.7·10⁻⁷; (13,19) 2.492·10⁻⁶; (13,20) 1.406·10⁻⁶; (14,15) 1.405·10⁻⁶; (14,17) 2.66·10⁻⁷; (14,19) 1.83·10⁻⁶; (14,20) 1.153·10⁻⁶; (15,15) 2.355·10⁻⁶; (15,16) 3.44·10⁻⁶; (15,17) 1.528·10⁻⁶; (16,20) 1.323·10⁻⁶; (17,20) 5.955·10⁻⁷; (18,19) 1.151·10⁻⁶; (18,20) 1.296·10⁻⁶; (19,19) 8.939·10⁻⁷
2. 在整个环面上证明 C ≥ b
引理 2.1（约化）。 C 与 b 对每个坐标都在 t ↦ 1 − t 下不变，所以只需证明 Q = [0, 1/2]² 上 g ≥ 0。在闭方形 [0, 1]² 上 C 就是多项式 (2 − 6t₁ + 6t₁²)(2 − 6t₂ + 6t₂²)，因此 g 在 Q 上光滑，Taylor 公式可以直接使用。
引理 2.2（三阶导数）。 把 b 展开成 cos·cos 项，记 ω(p) = 2πp。因为 k‴ = 0、k″ = 12、|k′| ≤ 6，有 ∂³C/∂t₁³ = 0、|∂³C/∂t₁²∂t₂| ≤ 72，所以全局上界
M₃₀ = ∑ |a|·ω(p)³, M₂₁ = 72 + ∑ |a|·ω(p)²ω(q), 交换坐标得 M₁₂、M₀₃, T₃ = M₃₀ + 3M₂₁ + 3M₁₂ + M₀₃.
引理 2.3（接触方形）。 设 a ∈ Aₙ，r = 2⁻ᵏ，[a − r, a + r]² ⊂ (0, 1)²，μ ≥ 0。若
α = g₁₁(a) − (M₃₀ + M₂₁)r − μ > 0, β = g₂₂(a) − (M₁₂ + M₀₃)r − μ > 0, αβ > (|g₁₂(a)| + (M₂₁ + M₁₂)r)²,
则方形上处处 Hessian(g) ≥ μI。又 g(a) = 0、∇g(a) = 0，沿方形内的线段用 Taylor 公式得 g(t) ≥ (μ/2)|t − a|²。基本覆盖取 μ = 0，定量覆盖（§3）取 μ = 2/1000。
引理 2.4（叶子下界）。 对中心 c、半边长 h 的方形，若 Hessian(g)(c) 通过 2×2 半正定检验取 λ = 0，否则 λ = min(g₁₁(c) − |g₁₂(c)|, g₂₂(c) − |g₁₂(c)|, 0)（Gershgorin），则方形上处处
g(t) ≥ g(c) − h·(|g₁(c)| + |g₂(c)|) + λh² − T₃h³/6.
证明：在 c 处二阶 Taylor 展开加三阶余项；位移 d 满足 |dᵢ| ≤ h、|d|² ≤ 2h²，λ ≤ 0 时 ½dᵀH(c)d ≥ ½λ|d|² ≥ λh²；三阶余项至多 T₃h³/6。
覆盖。投稿给出 Q 的一个二进四叉树划分。我们检查叶子互不相同、互不嵌套、面积之和等于 Q 的面积（所以是划分），然后对每片叶子判定：它位于某个接触方形内，或引理 2.4 的下界 ≥ 0（基本覆盖），或该下界 ≥ 叶子上 dist(t, Aₙ)²/1000 的上界 min over a of [(|c₁ − a₁| + h)² + (|c₂ − a₂| + h)²]/1000（定量覆盖）。不满足时我们自己再四分，最多 8 层。全部值、导数和三阶界都用 2²⁰⁰ 定点区间算术向外取整计算；π 由 Machin 公式的交错级数夹逼，sin、cos 在 |θ| ≤ π/4 上用带交错余项的 Taylor 级数。
| n | T₃ | 接触方形半径 | 基本覆盖：叶子 / 深度 / 接触方形 / 我们再分 | 定量覆盖：叶子 / 深度 / 接触方形 / 我们再分 |
|---|---|---|---|---|
| 8 | 2 539.3 | 2⁻¹² – 2⁻¹⁰ | 13 396 / 15 / 13 / 0 | — |
| 13 | 6 527.0 | 2⁻¹⁴ – 2⁻¹³ | 106 801 / 18 / 674 / 0 | 107 443 / 18 / 674 / 0 |
| 21 | 11 743.5 | 2⁻¹⁸ – 2⁻¹⁵ | 20 425 / 20 / 92 / 10 | 20 815 / 20 / 92 / 10 |
| 34 | 28 530.4 | 2⁻¹⁹ – 2⁻¹⁷ | 62 215 / 22 / 144 / 14 | 63 958 / 23 / 148 / 8 |
每片叶子都被接受，没有失败。我们的叶子下界（引理 2.4）与投稿使用的一阶界不同，所以 n = 21、34 有少数叶子需要我们再四分一次；“接触方形”一列计入再分后落在接触方形内的小方形。
定理 1 的证明。 §1 的检查 (d) 与引理 1.1 给出 b̂(h) ≥ 0（h ≠ 0）；本节给出 C ≥ b；由引理 1.3 和检查 (c)，任意 n 点 E ≥ E*ₙ。由检查 (f)（或由 (b)、(e) 与引理 1.4），Lₙ 取等。∎
n = 8 的网格。 L₈ 的坐标都是 1/8 = 0.125 的倍数，本身就是九位小数答案，分数 64·10³⁶·249/2048 = 7781250000000000000000000000000000000，用本站计分公式算得同一整数。任何网格答案都是连续问题的点集，所以分数不能更小：n = 8 的定理 2 成立。
3. 定位：更优的网格答案只能贴近理想格
以下 n ∈ {13, 21, 34}。Lₙ 的坐标是 j/n，不是九位小数，所以网格最小值严格大于 E*ₙ，需要额外论证。
引理 3.1（二次增长）。 在 Q 上 g(t) ≥ dist(t, Aₙ)²/1000。这正是 §2 的定量覆盖：接触方形内由引理 2.3（μ = 2/1000）得 g ≥ |t − a|²/1000 ≥ dist²/1000，其余叶子上 g 的下界不小于 dist²/1000 的上界。记 Uₙ 为 Aₙ 在坐标反射下的全部像（模 1）；我们精确检查了 Uₙ = {(u/n, ±ku/n) : u = 1, …, n − 1}。若 t ∈ 𝕋² 的折叠点距 Aₙ 小于 ε，则取同样的符号，t 距 Uₙ 中某点的欧氏距离（模 1）小于 ε。所以 g(t) < ε²/1000 时 t 距 Uₙ 小于 ε。
引理 3.2（定位）。 设 E₀ 为当前纪录答案的 E（分数除以 n²S⁴），Δ = E₀ − E*ₙ > 0。若网格答案 P 满足 E(P) ≤ E₀，则由引理 1.3 的恒等式（右端每项非负），每个 i ≠ j 有 g(pᵢ − pⱼ) ≤ n²(E(P) − E*ₙ) ≤ n²Δ。精确检查 1000n²Δ < ε²，所以每个点差距 Uₙ 小于 ε。Uₙ 的每点两个坐标都是 1/n 的非零倍数，距 0 至少 1/n > ε，所以没有重合点。
| n | ε | 1000n²Δ | ε² |
|---|---|---|---|
| 13 | 10⁻⁶ | 2.891·10⁻¹³ | 10⁻¹² |
| 21 | 10⁻⁶ | 6.900·10⁻¹³ | 10⁻¹² |
| 34 | 1.5·10⁻⁶ | 2.224·10⁻¹² | 2.25·10⁻¹² |
引理 3.3（剩余类刚性）。 设 gcd(k, n) = 1、2k ≢ 0（mod n）、6ε < 1/n（三个 n 都已检查）。则在 P 的点满足引理 3.2 的结论时，经网格点平移、重新编号、必要时 y ↦ −y，有 pⱼ = ℓⱼ + δⱼ，δ₀ = 0，|δⱼ| < ε。
证明：平移使 p₀ = 0。每个 pᵢ（i ≠ 0）距某个 (rᵢ/n, sᵢ/n) ∈ Uₙ 小于 ε，其中 rᵢ ≢ 0，sᵢ ≡ ±krᵢ。若 rᵢ = rⱼ（i ≠ j），则 pᵢ − pⱼ 的 x 分量距 0 至多 2ε，但它又距某个非零 u/n 小于 ε，得 1/n < 3ε，矛盾。所以 r 取遍 1, …, n − 1 各一次，按 r 重新编号，记 π(j) = sⱼ，π(0) = 0。对任意 j ≠ l，pⱼ − pₗ 距 ((j − l)/n, (π(j) − π(l))/n) 至多 2ε，又距 Uₙ 中某点小于 ε；两点相距小于 3ε，而 (1/n)ℤ² 中不同的两点（模 1）至少相距 1/n > 6ε > 3ε，所以这个 Uₙ 中的点被唯一确定为 ((j − l)/n, (π(j) − π(l))/n)，即 π(j) − π(l) ≡ ±k(j − l)（mod n）。相邻增量 π(j + 1) − π(j) ∈ {k, −k}；若两个相邻增量异号，两步增量为 0，但它必须是 ±2k ≢ 0，矛盾。所以所有增量同号，π(j) ≡ kj 或 −kj；后者用 y ↦ −y 化为前者。于是 pⱼ 距 ℓⱼ 小于 ε。∎
引理 3.4（n = 34 的规范化）。 还可以要求所有 δⱼ 的 x 分量 ≤ 0。取 x 分量最大的 δᵣ，用网格点 pᵣ 平移并把编号改为 j − r。格是循环群，ℓⱼ₊ᵣ − ℓᵣ ≡ ℓⱼ，所以新扰动 δ′ⱼ = δⱼ₊ᵣ − δᵣ，x 分量 ≤ 0，先验地 |δ′ⱼ| < 2ε。对新的点差 pⱼ₊ᵣ − pᵣ 用引理 3.2，它距 Uₙ 某点小于 ε；该点与 ℓⱼ 都在 (1/n)ℤ² 中且相距小于 3ε < 1/n，只能就是 ℓⱼ，所以 |δ′ⱼ| < ε。这一步只用了网格平移与重新编号，不漏掉任何答案；它只用于 n = 34，使枚举可以完成。∎
4. 化为有理椭球
变量 δ = (δ₁, …, δₙ₋₁) ∈ ℝ²⁽ⁿ⁻¹⁾，δ₀ = 0。对 i ≠ j，ℓᵢ − ℓⱼ ≡ (x⁰, y⁰)，两个坐标都在 [1/n, 1 − 1/n] 内；扰动 (u, v) = δᵢ − δⱼ 满足 |u|, |v| < 2ε < 1/n，所以 x⁰ + u、y⁰ + v 都留在 (0, 1) 内，k 在那里就是多项式 2 − 6t + 6t²。每个有序对精确展开为
k(x⁰+u)k(y⁰+v) = k(x⁰)k(y⁰) + [k′(x⁰)k(y⁰)u + k(x⁰)k′(y⁰)v] + [6k(y⁰)u² + k′(x⁰)k′(y⁰)uv + 6k(x⁰)v²] + 6[k′(x⁰)uv² + k′(y⁰)u²v] + 36u²v².
除以 n² 求和得 E(ℓ + δ) = E*ₙ + G·δ + Q(δ) + R(δ)：
- 常数项是 E(Lₙ) = E*ₙ。
- 一次项 G = 0：精确检查；它也来自格的对称 d ↦ −d 与 k′(1 − x) = −k′(x)。
- 二次项 Q(δ) = δᵀMδ，M 是显式的 2(n − 1) 阶有理矩阵。对 M − (λ/2)I 做精确 LDLᵀ 分解，所有主元为正，所以 Q(δ) ≥ (λ/2)|δ|²。
- 余项：由 |k′| ≤ 6 与 |u|, |v| ≤ 2ε，|6k′(x⁰)uv² + 6k′(y⁰)u²v| ≤ 36·2ε·(u² + v²)，36u²v² ≤ 36·4ε²·min(u², v²) ≤ 72ε²(u² + v²)，所以每个有序对的三、四次项 ≤ 72(ε + ε²)(u² + v²)。每个无序对出现两次，且 ∑ᵢ<ⱼ |δᵢ − δⱼ|² = n∑|δᵢ|² − |∑δᵢ|² ≤ n|δ|²，得
|R(δ)| ≤ (144/n)(ε + ε²)|δ|² ≤ η·Q(δ), η = 288(ε + ε²)/(nλ) < 1.
于是 E(P) − E*ₙ ≥ (1 − η)Q(δ)，E(P) ≤ E₀ 推出 Q(δ) ≤ Δ/(1 − η)。转成整数：把 Sℓ 写成整数部分 base 加小数 f ∈ [0, 1)；网格答案的坐标是 base + z，z ∈ ℤ²⁽ⁿ⁻¹⁾，Sδ = z − f（|Sδ| < 1500，而 Sℓ 距 0 和 S 都至少 S/n，不会绕回）。所以
(z − f)ᵀ M (z − f) ≤ T := S²Δ/(1 − η).
| n | 维数 | λ | η | T |
|---|---|---|---|---|
| 13 | 24 | 1/10 | 2.215·10⁻⁴ | 1.7112 |
| 21 | 40 | 1/25 | 3.429·10⁻⁴ | 1.5651 |
| 34 | 66 | 1/60 | 7.624·10⁻⁴ | 1.9251 |
5. 完整的整数枚举
对 M 做精确 LDLᵀ 分解（逐项重构核对，D 全正）。记 w = z − f，则 (z − f)ᵀM(z − f) = ∑ₖ Dₖ(wₖ + ∑ L(t, k)w_t)²（t > k）。从最后一个变量开始深度优先：第 k 层时已定变量给出中心 cₖ = fₖ − ∑ L(t, k)w_t，剩余预算 ρ 给出整数区间 |zₖ − cₖ| ≤ √(ρ/Dₖ)。这样列出椭球内的每一个整数点。n = 34 另加 x 坐标 zₖ ≤ 0（引理 3.4：Sδ ≤ 0 ⇔ z ≤ f ⇔ z ≤ 0，因为 0 ≤ f < 1）。
我们的 C++ 实现把 D 向下、T 向上取整，f 与 L 换成包含它们的区间，全部用 40 位定点，所以列出的是精确集合的超集；运算用有符号 128 位整数，每处量级都有守卫，越界即中止。每个列出的向量都还原成九位小数答案，再用本站的整数计分公式精确计分。
| n | 节点 | 向量 | 全部向量的分数 = 纪录 | 连续下界 ⌈n²S⁴E*⌉ |
|---|---|---|---|---|
| 13 | 9 269 | 13 | 8822485207100592005112425950295858208 | 8822485207100591715976331360946745563 |
| 21 | 239 482 | 21 | 9911564625850340826013605488979592272 | 9911564625850340136054421768707482994 |
| 34 | 117 233 870 | 4 | 10977508650519033365564013941480970048 | 10977508650519031141868512110726643599 |
n = 13、21 另用纯 Python 精确有理数枚举复算，节点数与向量完全相同。所有列出的向量（13、21、4 个）的分数都恰好等于纪录；我们没有分析它们是否是同一答案的对称像，证明不需要这一点。
定理 2 的证明（n = 13、21、34）。 设某个网格答案 P 的分数不超过纪录，即 E(P) ≤ E₀。引理 3.2–3.4 用网格平移、重新编号和反射（都保持网格与分数）把它化为 Lₙ 加扰动，其整数偏移 z 落在 §4 的椭球内，所以出现在枚举列表中；列表中每个向量的分数都不小于纪录。所以没有分数更小的网格答案，而纪录答案本身合法：网格最小值就是纪录。它严格大于 ⌈n²S⁴E*⌉，但两者的公开显示相同。∎
6. 结论与范围
四档都已证明：连续最小值为 E*ₙ，由 Lₙ 取到；网格最小值等于当前纪录（n = 8 时两者相同）。这些点集是 Fibonacci 格（n = Fₘ，生成元为 Fₘ₋₁ 或其相反数模 n）。
证明不涉及最优点集的唯一性或分类，投稿本身也明确不作此主张；我们不断言 Lₙ 是唯一的连续最优解，也不断言网格最优答案唯一。
我们的核验
本站用两个自己写的程序重放了全部证书：tools/p63-certificates.py（精确代数、覆盖、定位常数、Hessian 与余项、计分）和 tools/p63-ellipsoid-enum.cpp（整数枚举）。投稿中只读取了 certificate.json 的系数、覆盖叶子列表和答案点；投稿的程序、它们的输出断言和节点计数都没有被使用。
- algebra（四个 n）：§1 的检查 (a)–(f)。实系数 22、40、81、219 个；核对的接触与格差点 9、15、25、41 个；正系数 12、22、45、123 个，恰为 0 的 9、17、35、95 个；E(Lₙ) 与界的恒等式都给出 E*ₙ。每个 n 不到 1 秒。
- cover：§2 表中的全部叶子，基本覆盖（四个 n）与定量覆盖（n = 13、21、34），没有失败；每次 1–29 秒。
- grid-prepare：纪录答案的精确分数、1000n²Δ < ε²、Uₙ = {(u, ±ku)}、gcd(k, n) = 1、2k ≢ 0、6ε < 1/n、一次项为 0、M − (λ/2)I 的精确 LDLᵀ、η < 1、T，并写出枚举输入。
- p63-ellipsoid-enum：§5 的节点与向量数（n = 34 约 22–34 秒）；grid-finish 对每个向量精确计分。n = 34 的 4 个向量与投稿列出的完全一致。
- record：投稿中 n = 8 的答案（恰好取到 E*₈）与 n = 13、21、34 的网格答案（分数等于当前纪录）用本站计分公式复算，分数与显示都与上表一致。
python tools/p63-certificates.py --root ROOT algebra|record N
python tools/p63-certificates.py --root ROOT cover N --kind basic|quantitative
python tools/p63-certificates.py --root ROOT grid-prepare N --out enumN.txt
g++ -O2 -std=c++17 tools/p63-ellipsoid-enum.cpp -o p63-ellipsoid-enum
p63-ellipsoid-enum enumN.txt leavesN.txt
python tools/p63-certificates.py --root ROOT grid-finish N --leaves leavesN.txt
python tools/p63-certificates.py --root ROOT grid-python N
不由程序检查、而由人工重新推导的部分：引理 1.1–1.4、2.1–2.4 的推理，引理 3.1–3.4 的推理（程序只检查它们需要的数值条件），以及 §4 的余项估计（程序检查 η 与 T，并用随机点做非证明性的抽查）。
与投稿的差异：投稿报告的枚举节点数（n = 13：9 581 与 7 782；n = 21：247 286 与 168 411；n = 34：117 256 345 与 117 256 191）与我们的不同，因为计数方式和取整位数不同；向量个数（13、21、4）一致。投稿的覆盖用的是另一种叶子下界，我们以自己的下界判定，个别叶子需要再分（见 §2）。没有发现数学错误。
贡献
本项采纳的贡献记 zzzcy #308 一次永久 +2 证明分。网格纪录仍归原纪录持有者。