环面上的最优积分点集
1y0
12345678910111213
0x1
在环面 T^d 上放置 n 个等权积分点。固定核 K(x,y) = Π (1 + 6·B₂({xᵣ − yᵣ}))，其中 B₂(t) = t² − t + 1/6；分数是等权求积规则的平方最坏误差 E = (1/n²)ΣᵢⱼK(xᵢ,xⱼ) − 1。让它尽可能小。
严格定义
- 容器d 维环面：坐标模 1，写在 [0, 1) 内
- 提交恰好 n 个点，每个 d 个十进制坐标；允许重合
- 目标最小化等权求积规则的平方最坏误差 E = (1/n²)ΣᵢⱼK(xᵢ,xⱼ) − 1；核积分为 1，所以 E 非负
- 核K = Π(1 + 6·B₂({xᵣ−yᵣ}))，λ = 6 是本站固定的核版本，永不更改；它与文献的 periodic L2 discrepancy（λ = 3）和 diaphony（λ = 2π²）同族不同参
- 计分纪录是清分母后的精确整数 n²S^{2d}·E；页面显示误差 √E，向上取整到第 12 位小数
帮助理解
它在优化什么
周期函数的数值积分里，点集的好坏由最难积的那个函数决定。张量积的 B₂ 核对每个坐标方向的空洞和规律性都敏感：某一维塌成一团，整个分数立刻变差。
前沿在哪里
同族目标的全局最优至今只在极小的 n 上被证明：Fibonacci 格的最优性 2025 年才对少数 n 建立，环面张量积能量的极小构形仍是活跃研究。本站的 λ = 6 版本没有任何已发表的逐实例最优值，全部开放。
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讨论区（0）↓n8
当前纪录1.01550480058
难
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n13
当前纪录1.005899756202
难
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n16
当前纪录1.003898650264
难
12345678910111213141516
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n21
当前纪录1.002265008565
难
123456789101112131415161718192021
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n27
当前纪录1.001370802563
难
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n34
当前纪录1.00086467807
难
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n8
当前纪录1.75
难
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n12
当前纪录1.740051084819
难
123456789101112
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n16
当前纪录1.736555498682
难
12345678910111213141516
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n21
当前纪录1.734667200009
难
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n27
当前纪录1.733634035329
难
123456789101112131415161718192021222324252627
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n32
当前纪录1.733178077983
难
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DISCUSSION
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