正方形内均匀采样：取等分类、行结构与无限族的精确最优值

摘要

研究单位正方形内 n 个点的 gap ratio M=2h/δ。保留 M≥2/√3 的下界、取等刚性及 n≥10 的整数分类，并把行族内部优化推进至非取等全局最优性：通过墙模式、有限宽度投影和条带面积，给出九个有限参数的最优值及一个有界整数缺陷定理。当 D=3L²−K²>0、K≥max(100,10D²) 时，两相位交错窗口在各自点数上达到 M=√(4/3+D/(3K²))。固定 D 的递推产生无限个精确最优值，并满足 n(M−2/√3)→D/24。另给出固定比例放大失效的精确反例。v2 新增证明经过作者自审，尚未独立审阅；不宣称任意 n 的通解。

v2 新增证明经作者自审，尚未独立审阅或形式化验证；不是任意 N 的最优通解。

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1. 问题、范围与文献背景

令 Q=[0,1]²，P⊂Q 含 n 个互不相同的点。定义如下；Mₙ 表示在实数坐标点集上的下确界，先不施加网站的小数限制。

δ(P)=min{‖p−q‖: p,q∈P, p≠q}; h(P)=max{x∈Q} min{p∈P} ‖x−p‖; M(P)=2h(P)/δ(P); Mₙ=inf{|P|=n} M(P).

这就是覆盖与分离之间的 gap ratio；有些文献的 mesh ratio 定义为 h/δ，相差因子 2。所谓蜂窝布局，在这里指点位构成三角晶格、内部 Voronoi 单元为六边形，而不是把点放在蜂窝图的顶点。

Bishnu 等 [1] 研究连续、离散空间中的 gap ratio；其正方形引理给出趋近 2/√3 的有限点数下界。Teramoto 等 [2] 研究在线插点，这是不同于本文离线优化的问题。Bondarenko、Hardin 与 Saff [3] 研究最优装填和 Riesz 能量点集的 mesh ratio。本文集中处理有限正方形的取等刚性、边界兼容性及一个可精确优化的行族；本文为本站自发表研究稿，未经外部同行评审，也不作优先权或“首次发现”声明。

任意 n≥2 的最优值实际达到。取一个非空子水平集 M≤U。由半径 h 的 n 个圆盘覆盖 Q，1≤nπh²，因此 δ≥2/(U√(nπ))。该子水平集在紧集 Qⁿ 中一致远离点重合；h、δ 连续，故 M 在其中达到最小值。后文因此可以把“不取等”加强为“最优值严格大于下界”。

2. Voronoi 边界连通引理

引理。若 h<1/2 且 δ>√2h，则每个裁剪 Voronoi 单元 Vₚ 与 ∂Q 的交连通；所有非容器 Voronoi 边及其端点组成的图 G 连通，而且 G 在容器边界上的顶点度数均为 1。

证明。Vₚ 内任一点到 p 不超过 h，所以其直径不超过 2h<1，不能同时接触相对两墙。若接触相邻两墙，转移至两坐标轴，写 p=(u,v)，0≤u,v≤h，不妨 u≥v。设另一站点 q 到角点的距离 s≤r=√(u²+v²)。q 的坐标非负，故 p·q≥v(qₓ+qᵧ)≥vs。

‖p−q‖²≤r²+s²−2vs≤max{r²,2r(r−v)}≤2u²≤2h²<δ².

中间取 s∈[0,r] 上凸二次函数的端点最大值，最后用 r²≤2u² 和 r(r−v)=u²+v²−rv≤u²。因此 p 是角点唯一最近站点，凸性使两墙上的交区间在角点连接。每个 Vₚ 的非容器边界于是是一条连通弧（保留端点）或一个闭环。

取 G 内两个点，以 Q 内部的一般位置路径相连。逐个把路径穿越单元的片段替换为该单元非容器边界上的路径，得到 G 内的路径，证明连通。墙上若有三个最近站点，它们在同一半圆上，至少一对圆心角≤90°，推出 δ≤√2h；角点甚至不可能有两个最近站点。故边界图顶点只能是度 1 的端点。退化情形使用几何 Voronoi 图，不把共线边的人为细分计作新顶点。∎

3. 有限点数下界与取等刚性

定理 1。对每个 n≥5，Mₙ≥2/√3。若点集取等，则存在边长 δ 的三角晶格 Λ，使 P=Λ∩Q。

证明。只需讨论 M≤2/√3。把 Q 分成四个小正方形，并把边界点任选分配给其中一个，抽屉原理给出 δ≤1/√2。因此 h≤1/√6<1/2，且 δ>√2h，上节引理适用。G 必须有内部顶点：否则每个分量只能是一条边界到边界的直弦；连通性迫使只有一条弦、只有两个单元，与 n≥5 矛盾。

内部顶点的至少三个最近站点共圆，半径 R≤h。至少一个圆心角≤120°，故 δ≤√3R≤√3h，得到下界。取等时恰有三个站点，圆心角全为 120°、R=h，它们组成边长 δ 的等边三角形；四个站点会迫使 δ≤√2h，不可能。

G 连通且边界端点度为 1，所以内部顶点经内部边互相连通；每条边至少有一个内部端点，否则构成独立弦分量。每个站点的单元都有非容器边，故每个站点属于某个内部三角形。相邻内部顶点对应的等边三角形共用一条 δ 边，第三点位于边的两侧，因此同一个三角晶格沿 G 传播至全部站点。最后，若 Λ∩Q 中遗漏一个格点 q，它到 P 的距离至少 δ>h，与覆盖矛盾。因此 P=Λ∩Q。∎

4. 交错矩形点阵的精确公式

取整数 K≥L≥1、K≥2，相位 e∈{0,1}，以及 1≤t≤K/L。以下定义给出上下对称留白的点阵；t 调节纵横比。

a=1/K, b=t/K, m=(1−Lb)/2; P(K,L,e,t)={(ia,m+jb): 0≤i≤K, 0≤j≤L, i+j≡e (mod 2)}.

N(K,L,e)=((K+1)(L+1)+(−1)ᵉ)/2 if K,L are even; otherwise N(K,L,e)=(K+1)(L+1)/2.

定理 2。此点阵的距离、覆盖半径和目标值如下，目标值与相位无关（点数可能相关）。

δ=a min{2,√(1+t²)}; h=a max{(1+t²)/(2t),√(1+(K−Lt)²/4)}; M=2 max{(1+t²)/(2t),√(1+(K−Lt)²/4)}/min{2,√(1+t²)}.

证明。最近邻向量的候选长度为 2a、√(a²+b²)、2b；b≥a，且该有限点阵包含前两个候选点对，得到 δ。无限交错点阵的基本三角形底为 2a、高为 b，覆盖半径 R=(a²+b²)/(2b)。b≥a 时这些三角形构成 Delaunay 三角剖分（b=a 时可共圆退化）：横边对角为 2 arctan(a/b)≤90°，斜边对角为 arctan(b/a)<90°，相邻对角和不超过 180°。外接圆心位于三角形内或边上，空圆半径确为 R。

中央矩形 B=[0,1]×[m,1−m] 的四边反射保持无限点阵。把一个最近站点反复反射折回 B，不增加它到 B 内给定位置的距离，因此 B 上覆盖半径≤R；两种相位各有完整基本三角形位于 B，故 R 达到。上下条带到极端一行的距离至多 C=√(a²+m²)。在底边选择底行缺失的一列，其横向邻居距离恰为 C；第二行及以上距离至少 m+b≥C。所以 C 也达到，h=max{R,C}。∎

5. 三种族内最优机制

推论 2.1。固定 K,L,e，只在上述行族内优化 t，可完全求解。A：若 K/L≤√3，高度不足，t*=K/L，M*=√(1+(L/K)²)。B：若 √3L≤K≤√3L+2/√3，取 t*=√3，M*=2/√3。C：若 K>√3L+2/√3，最优 t* 是 (√3,K/L) 中下面方程的唯一根。

(t+1/t)/2=√(1+(K−Lt)²/4); (L²−1)t⁴−2KLt³+(K²+2)t²−1=0; M*=(t*+1/t*)/2.

证明。t≤√3 时，内部项除以分离距离为 √(1+t²)/(2t)，严格递减；边界项的分子递减、分母递增，亦递减。t≥√3 时分离距离固定为 2a，内部项递增、边界项递减。最优只能在允许端点、t=√3，或两项唯一交点。这三种情形分别给出 A、B、C。∎

例如 (K,L,e)=(9,5,0) 给出 n=30 的全局最优；(10,5,0) 给出 n=33 的族内值 (7√31−25)/12≈1.164529211651；(9,6,0) 给出 n=35 的族内值 √13/3≈1.201850425155。后两者只是具体构造族的最优，不是对任意点位变形的下界。

6. n≥10 的取等晶格必须对齐

引理。n≥10 的取等点集，其三角晶格有一族格线平行于正方形边。证明只需排除非零方向，不依赖数值扫描。由正方形的 90° 对称、晶格的 60° 对称及反射，可约化至 0≤θ≤15°。假设 θ>0，按 δ=1 归一化，覆盖半径 r=1/√3。把有限点集扩充到 x≥0 的整个晶格半平面，只增强对左墙的覆盖。

a⃗=(cos θ,sin θ), b⃗=(cos(60°+θ),sin(60°+θ)), A=cos θ, c=cos(60°+θ), p=√3/2.

沿 a⃗ 的第 j 行与墙交于 Yⱼ，相邻交点相差 p/A。该行第一个非负横坐标格点为 (xⱼ,yⱼ)，其中 0≤xⱼ<A，yⱼ=Yⱼ+xⱼtanθ，且 xⱼ₊₁≡xⱼ+c (mod A)。因为 A>r，同行只有这个点可能服务墙，其区间为 Iⱼ=[yⱼ−√(r²−xⱼ²),yⱼ+√(r²−xⱼ²)]（xⱼ>r 时为空）。

不回绕时，两圆心相差 b⃗、距离为 1，半径 r 的两圆交集最左坐标为 xⱼ+c/2−sin(60°+θ)/(2√3)=xⱼ−sinθ/√3。因此两个墙面区间重叠当且仅当 xⱼ≤sinθ/√3。此处交集最左点确为圆交点：沿水平左移的单圆极点不在另一圆内（cos(60°+θ)<√3/2）；交集最右端横坐标为正。

回绕时令 x′=xⱼ₊₁≥0，同样计算得到交集最左坐标 x′+sinθ/√3>0，所以不重叠。连续两个不回绕重叠也不可能：需要 xⱼ+c≤sinθ/√3，但 c−sinθ/√3=(√3cosθ−5sinθ)/(2√3)>0，因为 tanθ≤2−√3<√3/5（平方后 100<108）。

隔至少两行的圆心纵差至少 √3/cosθ−sinθ≥√3−1/2>2/√3=2r，因此非相邻行不能连接。这些区间局部有限，任一连通覆盖分量至多由两圆组成，其长度不超过 sin(60°+θ)+r+√(r²−c²)。由于 cos75°>1/4，该长度严格小于 1+1/√3+√39/12<101/48；后一个有理界用 48<49 和 16·39<625 验证。单圆分量同样满足此界。

恢复尺度，每个墙面覆盖分量长度小于 101δ/48。n≥10 时把 Q 分成 3×3 小正方形，得 δ≤√2/3，故长度小于 101√2/144<1（20402<20736）。整条单位墙必须位于一个连通覆盖分量，矛盾。因此 θ=0。∎

7. 取等点数的完整整数分类（n≥10）

定理 3。对 n≥10，Mₙ=2/√3 当且仅当存在整数 K≥2、L≥1、e∈{0,1}，满足下列不等式及 n=N(K,L,e)。

3L²≤K², 3K²≤(3L+2)²; equivalently √3L≤K≤√3L+2/√3.

证明必要性。定理 1 和上节使点集为对齐的完整晶格窗口。θ=0 的墙面计算中，相邻行区间重叠要求较近一行恰好贴墙。单圆覆盖长度 2h<1，且非相邻行不能相接，左右墙均需格点贴墙，因而 1=Kδ/2。若水平相邻行距为 √3/K，从最低到最高有 L 个间距，上下边距 tᵦ、tₜ 满足 tᵦ+tₜ=1−L√3/K。

上下墙只由各自极端行覆盖，因为下一行距墙至少 √3δ/2>h。每行至少两点，行内间隔 δ，而最坏横向距离恰为 δ/2。因此 tᵦ、tₜ 分别位于 [0,δ/(2√3)]，正好给出整数不等式。完整性使行内点数按奇偶交替，得到 N 公式。反过来，满足条件时取对称边距 m=(1−L√3/K)/2 和 t=√3，用定理 2 立即达到 2/√3。∎

注意上下边距不必相等：分类允许满足上述条件的全部分配。在 10≤n≤40 内，取等点数仅为 14、20、22、23、30。再由 K=4,L=2 的两相位构造以及定理 1，得到 n=7、8 也全局最优。本定理没有完整分类 n=5、6、9。

取等点数的自然密度为零。每个 L 的 K 区间长度 2/√3<2，至多两个整数，各至多两个点数；又 n≥((L+1)²−1)/2，所以截至 X 只有 O(√X) 个取等点数。特别地 M₃₃、M₃₅>2/√3，但没有得到其精确最优值或显式间隙。这种稀疏性不意味着其他 n 有统一正间隙，也不排除 Mₙ→2/√3。

8. 精确构造、小数证书与竞赛结算

表中每一行都由第 4 节坐标公式配合 t=√3 给出一个精确实数构造，定理 1 为它提供匹配下界。图形仅用于说明；证明不依赖像素或浮点采样。

有限小数坐标不能达到此下界。定理 1 的取等构造必含非退化等边三角形；若三顶点坐标全为有理数，则面积由行列式给出一个有理数，但又等于 √3δ²/4，其中 δ² 是正有理数，矛盾。

P56 验证器从九位小数精确计算 M²，再把 M² 向上取整至 10⁻¹⁵；页面另显示 M 的小数近似。因此不能把 4/3 的内部目标与 2/√3 的显示值混用，也不能放宽容差把近似纪录标为精确最优。

本站据连续问题已解，将 n=7、8、14、20、22、23、30 标记为“已证明最优”并停止竞赛。所有历史纪录、作者归属和既有贡献分保留；当前证书不被宣称为九位网格上的最优。其他子题继续开放，尤其不因为规则构造的数值与纪录吻合而关闭 n=33、35。

9. 近取等几何与墙模式

第 9–14 节为 v2 新增研究证明，经过作者自审，尚未独立审阅或形式化验证。以下把拓扑、有限判据和参数定理的依赖逐步展开；不是从图形相似或数值拟合推断最优。完整推导笔记、严格有理常数检查及未通过案例见文末复核材料。

令 M₀=2/√3，只考虑 M≤U 的竞争点集，其中 M₀<U≤1.160182，U−M₀≤E≤0.005481，h<1/4，每墙至少四个站点。这里墙站点指裁剪 Voronoi 单元服务该墙的点，不要求坐标恰在墙上。以下角度均为弧度。

β=3E/2; κ=6β; B=U(√3/2+β); π/3−β≤t≤π/3+2β; δ≤b≤Bδ.

称外接圆心位于 Q 内部的 Delaunay 三角形为好三角形。由 sin t≥1/M 和 |d(arcsin(1/M))/dM|≤3/2 得角界；由正弦凹性得边长界。好三角形都是锐角。第 2 节引理适用：Voronoi 边图连通，墙端点度一，内部顶点恰有三个最近站点，每个站点属于好三角形。内部站点的好三角扇完整；墙站点的扇沿单元非容器边界连续。

这些三角形组成一个平面三角剖分圆盘 T。具体地，好三角形复形是连通的有边界二维流形；其单侧边恰对应墙上相邻站点。墙上最近距离平方去掉共同二次项后是仿射函数的下包络，故各墙链沿墙严格单调。不同墙链只能共享相邻墙角的唯一站点，四个角站点互异。因此边界是一条简单闭曲线，平面流形 T 是其所围圆盘。墙链在对应的 h 带内，按正方形边序环绕中心。

墙步相对墙的倾角小于 π/5：法向坐标都在 [0,h]，边长至少 δ，故 |sin θ|≤M/2<sin(π/5)。五个好三角角之和小于 2π，七个之和大于 2π，故内部顶点度六。非角点墙扇有 j=2、3、4 块，其转角分别落在下式。角点扇仅有一或两块：以左下角站点为例，其西南象限不能有别的站点，否则距离≤√2h<δ；绕背面的长扇必跨过一个无射线的 90° 区，与锐角性矛盾。

j=2: π/3+[−4β,2β]; j=3: [−6β,3β]; j=4: −π/3+[−8β,4β].

一次大转角邻接一次小转角，会迫使相邻两步同向法向位移至少 δ[sin(2π/15−8β)+sin(2π/15−14β)]>h；两次同号大转角会超过墙的方向锥。因此每墙要么全 j=3（S），要么 j=2、4 交替（Z）。这里 S 是组合直行，不意味着实际点共线。相邻两墙不可能都是 S：角点迫使某墙前三步的同向法向位移至少 δ[sin(π/12−2β)+sin(π/12−8β)+sin(π/12−14β)]>h。三步只需四个墙站点。

Z 步倾角在 ±π/6 附近，误差≤π/30+8β。若相邻两墙都是 Z，其角点两射线夹角接近 π/6、π/2、5π/6，误差≤π/15+16β；角点扇则接近 π/3 或 2π/3，误差≤4β，两者仍相隔 π/10−20β>0。故可旋转正方形令左右为 Z、上下为 S。S 首末步方向界 A=π/30+12β，内部行步转角界 κ=6β。上述严格不等式在 E、U 的上限统一成立，有理检查采用 sin 的三次下界，不依赖角度采样。

10. 全局行组织与条带面积

把 T 的每个三角形替换为单位等边三角形并沿边展开。内部度六使绕每个内部顶点的延拓恒等，圆盘内其他回路由这些回路生成，故展开坐标良定义；不要求展开全局单射。展开给出三类无向边颜色。S 墙边同色，Z 墙交替另两色：若 S 色属于邻接 Z 的两色，经过至多六个三角形，同色边实际方向差≤12β；相邻墙方向锥至少相隔 π/10，矛盾。上下 S 因而同色，选其为行色。

行色子图包含所有站点：内部和 S 非角点度二，Z 非角点与角点度一。Z 的入内行边指向内部，其方向误差≤π/30+2β≤A，角点沿 S 边。闭环不可能存在：沿一条定向行，展开中每步增加同一个单位向量 v，r 步闭环会要求 Φ(p)=Φ(p)+rv。故所有分量均为路径，但尚不能假定它们贯穿左右。

设 d₀<δ，若正整数 t 满足下列投影屏障，则任一路径不可能有 t 步。因为从左端出发的前 t 步都向右，横向位移已大于 1。剩下的全部步仍向右。若末端也在左墙，其入内边从末端看向右，正向到达末端的最后一步就须向左，矛盾。这一步不能仅用“x 递增”替代，因为墙站点不一定在 x=0。右墙对称。于是所有行贯穿左右，互不相交。

A+(t−1)κ<π/2; d₀ Σᵢ₌₀ᵗ⁻¹ cos(A+iκ)>1.

这些行依序切开圆盘。每个三角形恰有一条行色底边；第三点不在同行（展开高度不同），也不能跨过另一行。因此三角形位于相邻两行的条带中。条带无内部顶点，三角形对偶为路径；底边必须交替来自上下行，否则连续两底边的公共点在该侧只有两个三角形，而应有三个。Z 端点的单侧扇形为一或两块且逐行翻转，故行计数只能为 A 型全部 m，或 B 型 m、m−1 交替。每行至少两点。

扣除墙边区域时使用实际坐标而非展开坐标。左链为 y 单调图 x=xₗ(y)，右链类似，两个墙带因 2h<1 不交。底链第一步后 x 已大于 h；若首步向上，其 dx/dy≥√(δ²−h²)/h>1，而左链 |dx/dy|≤h/√(δ²−h²)<1，首步高度变化≤h、左链首步增高>h。因此底链不侵入左链与墙间区域。其余角对称，所扣梯形均在 T 外且不重叠。

令 s=√(M²−1)。左端两点的横坐标和为 X，纵差为 dy，边长 b，共同墙等距点半径 ρ≤h，则 4ρ²/b²=1+X²/dy²，从而外侧梯形面积≥X²/(2s)；右端距离墙之和 Y 同理。好三角形以 b 为底、高 q、另两边 c₁,c₂≥δ，有 M≥c₁c₂/(qδ)≥max(c₁,c₂)/q≥√(1+b²/(4q²))，故面积≥b²/(4s)。

相邻两行点数 a、b，横跨距 σ、τ 满足 X+Y+σ+τ=2。各行底边长度求和至少其横跨距，用 Cauchy 两次给出每条带连同外侧梯形的面积下界。所有条带相加不超过 1，得到无需行笔直的面积引理。

s·area ≥ X²/2+Y²/2+σ²/[4(a−1)]+τ²/[4(b−1)] ≥ 1/(a+b−1); s ≥ Σⱼ₌₁ᵏ⁻¹ 1/(mⱼ+mⱼ₊₁−1).

11. 有限判据与九个非取等最优值

以下为充分判据，不通过不代表构造非最优。对一个第 5 节压缩窗口的候选分数 U，以覆盖圆面积和分离圆盘装箱分别求严格外包界 d₀<δ<d₁。若 Ud₁/2<1/4，每墙至少 w=⌊1/(Ud₁)⌋+1 个站点；要求 w≥4，并检查第 9 节局部条件及第 10 节屏障。

d₀ < 2/(U√(nπ)); d₁ > 1/(√(nπ)/2−1); A=π/30+12β; α=2π/15−8β; S=√(U²−1).

贯穿结构确立后，r 步行的第 i 步同时受两端控制，|θᵢ|≤A+κ min(i,r−1−i)。角站点到上下 S 墙的距离至多 δ(S+A)/2：墙等距几何给出 z≤√(h²−b²/4)cosθ+(b/2)|sinθ|；当 U|sinθ|≤1 时此式关于 b≥δ 递减，再用 |θ|≤A、UA<1。Z 墙步的竖分量≤Bδ cosα。因此以下横纵跨度界必须同时成立。

Hᵣ=Σᵢ₌₀ʳ⁻¹ cos(A+κ min(i,r−1−i)); Cₖ=S+A+(k−1)B cosα; δHᵣ≤1≤δCₖ.

穷尽 k≥w、mⱼ≥2、首末行至少 w 点的 A/B 整数表示。令 r=max mⱼ−1。每种表示须被 r≥t、Hᵣ>Cₖ、d₀Hᵣ>1 或 d₁Cₖ<1 排除，或者面积界 1+(Σ1/(mⱼ+mⱼ₊₁−1))²≥U² 已足够。全部表示通过，才断言 Mₙ=U。所有角函数、平方根及 π 用有理包络比较；最终面积比较使用精确分数。

该判据给出下表九例，构造均为 {(i/K,j/L):i+j≡e mod 2}。例如 n=52 的原始墙计数剩下五行 10/11 交替、七行 7/8 交替、八行 6/7 交替；前两者由跨度排除，后者给出 s≥7/12。n=99 剩下 9×11 与 11×9，前者 H₁₀−C₉>1.11886，后者给出 s≥10/17。这些是对连续点集的论证，不仅是行族内部优化。

19≤n≤400 的筛查有七例通过本判据、26 例有通用下界取等构造；367、368 在行投影处未通过，339 例超出局部角度范围，八例无所枚举的压缩候选。621、1512 另行检查以补齐下节序列前缀。失败与范围外案例全部保留，不能改称“必需斜行”。数值搜索中对斜行松弛的观察也不是结构必要性定理。

12. 有界整数缺陷的参数最优性定理

定理 4（v2，自审证明）。令 K、L 为正整数，D=3L²−K²>0，K≥max(100,10D²)。对 e=0、1，各交错窗口 Pₑ 在自己的点数 nₑ 上均达到连续全局最优。产品 (K+1)(L+1) 为偶数时两相位点数相同；为奇数时分别为产品加一、减一后除二。不声称最优构型唯一。

Pₑ={(i/K,j/L): 0≤i≤K, 0≤j≤L, i+j≡e (mod 2)}; Mₙₑ=U=√(1+(L/K)²)=√(4/3+D/(3K²)).

证明先改进墙方向界，使误差随 E 趋零。左墙相邻站点横坐标和 X、纵差 dy、距离 b 满足第 10 节的墙恒等式。因 |dx|≤X，墙步倾角 |θ|≤arctan√(M²−1)≤π/6+β，最后一步用导数≤3/2。Z 步每次邻接约 π/3 大转角，故 |θ|≥π/6−9β。角点扇为约 π/3 或 2π/3，S 首末步只能接近 0 或 ±π/3，误差≤13β；14β<π/6 排除后两支。Z 非角点的入内行边同时受两侧扇约束，误差≤3β。因此可以统一使用新的 A、α。

E=D/(6K²); β=D/(4K²); A=13D/(4K²); κ=3D/(2K²); α=π/6−9β.

假设 M≤U。阈值给出 1/K≤1/100、D/K<1/30、D²/K≤1/10；点数公式给出 K²/(2√3)<n≤K²/3，且 L≤3K/5、U≤7/6。分离圆盘面积结合 π>3、√3<7/4 给出 δ<1/(√(nπ)/2−1)，进而 Uδ<3/K、h<3/(2K)<1/4。覆盖面积结合 π<22/7 给出 δ>8/(5K)。又 U−M₀=D/[3K²(U+M₀)]<E<0.005481，故第 9 节全部局部结论适用。

任一行从端点起前 K 步的角度（若这些步存在）都小于 A+(K−1)κ≤(D/K)(3/2+13/(4K))<1/10。其横移大于 (8/5)cos(1/10)≥199/125>1。因此每行少于 K 步，第 10 节屏障证明它们贯穿左右并具有 A/B 计数。此后才能使用双端估计：任意 r<K 步行中，|θᵢ|≤A+κ(r−1)/2≤4D/(5K)。

Hᵣ ≥ r−8D²/(25K), δHᵣ≤1; 1≤δC, C=L/K+A+L′B cosα.

这里竞争点集共 L′+1 行。由 B≤1+11D/(24K²)、cosα≤√3/2+9D/(8K²)、D/K²≤1/3000，得到 B cosα≤√3/2+5D/(3K²)；又 L/K+A≤1/√3+4D/K²。若 L′<L≤3K/5，纵向系数满足下式。

C ≤ √3L′/2+1/√3+D/K+4D/K².

A 型每行 m 点编码 K′=2m−1，B 型 m、m−1 交替编码 K′=2m−2，均令 L′=行数−1。于是 |(K′+1)(L′+1)−2n|≤1，两窗口产品相差至多 2；第 10 节面积引理给出 M≥√(1+(L′/K′)²)。若 K′≤K，则必须 L′≥L，否则产品减少超过 2，于是面积界已≥U。若 K′>K，则必须 L′<L，故 K′≥K+1、L′≤L−1。最长行步数 r≥(K′−1)/2。

在后一类中，将跨度上下界相减，并用 K−√3L=−D/(K+√3L)，得下式。阈值同时控制 D 的一次和二次误差，右侧严格大于 89/1000。故不可能有同一 δ 使 δHᵣ≤1≤δC。所有可能改进的整数行型一次被排除，真实行可以弯曲。另一方面 K>L 且 K/L<√3，候选属于第 5 节压缩分支并精确达到 U。上下界合拢，定理成立。∎

Hᵣ−C > 1/(2√3)−[8D²/25+5D/4]/K−4D/K² > 1/4−4/125−1/8−1/250 = 89/1000 > 0.

13. 无限序列与精确渐近式

递推 (K,L)↦(2K+3L,K+2L) 保持 D=3L²−K²，且 K 严格增大。因此只要固定正 D 有一组正整数解，该递推最终满足定理 4，给出无限多个非取等最优值。这并不要求一个种子生成该方程的所有整数解。

D=2: (19,11)→(71,41)→(265,153)→(989,571)→⋯; n=120,1512,20482,283140,3935672,⋯.

D=3: (12,7)→(45,26)→(168,97)→(627,362)→⋯; n=52,621,8281,113982,1582516,⋯.

两条序列前两项分别由第 11 节有限判据覆盖；从第三项起，D=2 的 K≥265、D=3 的 K≥168 已满足阈值，所以列出的整个递推序列都有证明，而非仅证明无限尾部。D=11、12 等也产生无限尾部，但不能把未经有限检查的前缀自动算作已解。

沿任意固定 D 的已证明递推尾部，n/K²→1/(2√3)。将分数差有理化可得精确渐近常数 D/24；D=2、3 分别是 1/12、1/8。这里是最优值的渐近式，但仅沿这些序列，不是所有 n 的收敛速度。

K²(Mₙ−2/√3)=D/[3(Mₙ+2/√3)]→D/(4√3); n(Mₙ−2/√3)→D/24.

14. 固定比例外推的反例与适用边界

52、187、188 都具有最优值 √193/12，却不能外推 (K,L)=(12t,7t) 在任意尺度都最优。取 t=545，原窗口 (6540,3815) 与窗口 (6571,3797) 点数相同，均为 12,480,228。后者仍属压缩分支而分数严格更小，证据全部是以下整数和有理等式。无需生成一千多万个点，也不宣称后者本身最优。

6541·3816=6572·3798; 6571²<3·3797²; 193/144−57595250/43178041=39645913/6217637904>0.

这解释了为什么有用的参数是整数缺陷 D，而不只是比例 K/L：固定比例放大使 D 按尺度平方增长；固定 D 则给出可控的近等边误差。定理阈值是保守充分条件，不是适用性的必要边界。n=13、19 的倾斜松弛构型、33、35 的非取等全局最优值，以及有限判据未通过的 367、368，均未被本次工作解决。

新构造坐标 i/K、j/L 是有理数，不能把第 8 节对等边取等构造的“有理坐标不可能”论证套在它们身上。但有理数未必能用九位小数精确表示；若需要取整，必须重新通过原验证器。本修订仅更新论文，不扩大题库、不改变既有七个子题之外的竞赛状态，也不更改作者贡献分。

15. 结论、版本与可复核性

v1（2026-09-07）给出统一下界、取等刚性、n≥10 的取等整数分类和交错行族内部优化。v2（2026-09-08）加入近取等全局行组织、有限充分判据、九个非取等最优值、有界整数缺陷定理、两条完整无限序列、D/24 渐近常数及固定比例反例。它把部分数值规律推进为带明确假设的结构理论，但仍不是任意 n 的最优值通解。

复核只需整数运算即可枚举分类条件；坐标及目标公式均已在文中给出。配套测试检查点数、整数条件、已证明最优的子题名单，以及小数化构造通过现有精确验证器但并未达到 4/3。这些测试验证实现与公式的一致性，不替代上面的解析证明。

新增复核材料采用 Python 标准库 Fraction、整数平方根、Machin 恒等式及带余项方向的三角 Taylor 界。运行 tools/research-p56-row-criterion-2026-09-08.py，再运行 tools/research-p56-defect-families-2026-09-08.py，即可重建有限枚举和参数常数证书。有限枚举不是无限定理的证明；后者依赖第 12 节统一不等式。几何拓扑的独立审阅仍应优先于继续扩展数值表。

署名保持为 MinMax Arena／极值竞技场。Claude 辅助提出墙模式、行计数和面积路线；Codex 辅助补写全局行组织、修正适用条件、推广参数估计并进行本轮自审与整理。两者均为辅助工具，不是独立同行审稿人。新增证明不依赖先前草稿中尚未核实的 Landau 估计。欢迎在 P56 讨论区提交漏洞、先前文献及更强结论。版本：2026-09-08，v2。

参考文献

[1] Bishnu, Desai, Ghosh, Goswami and Paul — Uniformity of point samples in metric spaces using gap ratio (2015) ↗

[2] Teramoto, Asano, Katoh and Doerr — Inserting Points Uniformly at Every Instance (2006) ↗

[3] Bondarenko, Hardin and Saff — Mesh ratios for best-packing and limits of minimal energy configurations ↗

推导与复核材料

行结构与墙外区域的详细证明 ↗

有限判据与未通过案例 ↗

参数定理的完整推导 ↗

作者自审记录 ↗

有限判据复现程序（Python 标准库） ↗

参数定理与序列复现程序 ↗

有限枚举证书 ↗

参数常数、序列前缀与反例证书 ↗