P56 · 极值构型 · 本站原创 · 应用前沿 · 基线易突破

单位正方形内的最均匀采样网格

Name: P56 — 单位正方形内的最均匀采样网格
Creator: MinMax Arena
License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1y0

123456789101112

0x1

已验证构造红圈标出最大未覆盖空洞，蓝线连接最近点对；分数为两者半径之比

n = 12当前纪录 · 打开子题

在单位正方形里放 n 个点。h 是正方形内任意位置到最近点距离的最大值，δ 是最近点对之间的距离，分数是 M = 2h/δ。把 M 压到最低。

严格定义

容器单位正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (1, 1)
提交恰好 n 个点的坐标，十进制小数，最多九位；两点不得重合
覆盖半径h(P) 是正方形内最难覆盖的位置到最近提交点的距离 $h (P) = \max_{x \in {[0, 1]}^{2}} \min_{1 \leq i \leq n} ‖ x - p_{i} ‖$
分离距离δ(P) 是提交点中最近一对的距离 $δ (P) = \min_{1 \leq i < j \leq n} ‖ p_{i} - p_{j} ‖$
分数M(P) 同时惩罚大空洞和过近点对；内部以 M(P)² = 4h(P)²/δ(P)² 精确计算，再向上取整到 10⁻¹⁵ $M (P) = \frac{2 h (P)}{δ (P)}$
目标在所有合法点集 P 中让 M(P) 尽可能小 $\min_{P} M (P)$

帮助理解

一个比喻：基站选址

把 n 个点看作 n 座基站。h 是信号最弱的位置离最近基站有多远，δ 是靠得最近的两座基站之间的距离。M = 2h/δ 同时约束这两头：既不能留下大空洞，也不能让两个点挤在一起。

哪里有优化空间

正方形网格的 M 是 √2 ≈ 1.414，六边形蜂窝排布能压得更低，但到了正方形边界就会卡住：角落要么留出空洞，要么把点挤近。每个 n 都要在内部蜂窝排布和四条边界之间重新平衡。

前沿在哪里

本站论文证明了 n≥5 时 M≥2/√3，并给出了 n≥10 时取等号的全部点数。n=7、8、14、20、22、23、30 的连续最优解已经证明并归档（保留历史纪录），其余子题仍在开放。即便在规则行排布里做到了最优，放在所有可能布局里也未必全局最优。

查看来源

逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

每个规模参数 n 都是一个独立计分的子题。点击任意卡片可查看当前纪录构型，或打开编辑器提交更优解答。

讨论区（3）↓

当前纪录1.337117307331

当前纪录1.201850425895

当前纪录1.181565117881

中

123456789

纪录保持者w33d

解题方式AI · Anthropic: Claude Fable 5.1

n10

当前纪录1.250000000451

中

12345678910

纪录保持者w33d

解题方式AI · Anthropic: Claude Fable 5.1

n11

当前纪录1.293583854408

中

1234567891011

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

n12

当前纪录1.166190379278

中

123456789101112

纪录保持者w33d

解题方式AI · Anthropic: Claude Fable 5.1

n13

当前纪录1.245410065670

中

12345678910111213

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

当前纪录1.221468801798

中

123456789101112131415

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

n16

当前纪录1.194649172032

中

12345678910111213141516

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

n17

当前纪录1.201850427374

中

1234567891011121314151617

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n18

当前纪录1.201850427374

中

123456789101112131415161718

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n19

当前纪录1.261259313231

中

12345678910111213141516171819

纪录保持者w33d

解题方式AI · Anthropic: Claude Fable 5.1

n20

当前纪录2/√3

已证明最优

1234567891011121314151617181920

纪录保持者今天

解题方式人工

n21

当前纪录1.234231298999

中

123456789101112131415161718192021

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

n22

当前纪录2/√3

已证明最优

12345678910111213141516171819202122

1234567891011121314151617181920212223

纪录保持者今天

解题方式人工

n24

当前纪录1.228903612069

中

123456789101112131415161718192021222324

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

n25

当前纪录1.205107111615

简单

12345678910111213141516171819202122232425

答案来源MinMax Arena

解题方式本站参考构造

n26

当前纪录1.254636965915

中

1234567891011121314151617181920212223242526

纪录保持者今天

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash 1017

n27

当前纪录1.179247641508

中

123456789101112131415161718192021222324252627

纪录保持者Tmrg

解题方式人工

n28

当前纪录1.234490836810

中

12345678910111213141516171819202122232425262728

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n29

当前纪录1.235816295526

中

1234567891011121314151617181920212223242526272829

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

n30

当前纪录2/√3

已证明最优

123456789101112131415161718192021222324252627282930

纪录保持者今天

解题方式人工

n31

当前纪录1.225470981868

中

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

n32

当前纪录1.221703835609

中

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

n33

当前纪录1.164529212256

中

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233

纪录保持者Tmrg

解题方式人工

n34

当前纪录1.229432148124

中

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

n35

当前纪录1.201850429593

中

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n36

当前纪录1.213512406553

中

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

n37

当前纪录1.246397192049

中

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637

纪录保持者今天

解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash

n38

当前纪录1.166190380204

中

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n39

当前纪录1.166190380204

中

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839

纪录保持者zzzcy

解题方式AI · OpenAI: GPT-6 Astra

n40

当前纪录1.224028692751

中

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/uniform-mesh.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/uniform-mesh.json

BibTeX（点击复制）

@misc{minmaxarena-uniform-mesh-2026-10,
  title  = {{The most uniform sampling mesh in the unit square} (P56)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/uniform-mesh.json},
  license = {CC BY 4.0}
}

DISCUSSION

讨论区

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可能的最小值今天#843 条回复10 天前 蜂窝煤布局SneakyZero#11 条回复51 天前 《豆包》NUE_13#310 条回复66 天前