P55 · 极值构型 · 经典问题 · 应用前沿 · 基线易突破 · 简单

单位正方形内的最优量化 · n = 6

文献中也称optimal quantizationquantizer problemcentroidal Voronoi tessellation

在边长为 1 的正方形内放置 n 个点。正方形内的每个位置都归属离它最近的点，计算各位置到最近点的平方距离在整个正方形上的平均值，并把这个平均值压到最低。

子题n = 6

目标最小化平均平方距离

已证明下界5/(18√3·6)任何合法布局均不低于 0.026729179129149 · 当前纪录高出下界 12.1%Fejes Tóth 矩定理：平均平方距离不可能低于把地图剖成 n 个等面积正六边形的水平；正方形铺不出正六边形，这条线永远取不到，只能逼近

纪录对比

平均平方距离 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	—	—	暂无收录
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器单位正方形 [0, 1]²，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)
提交恰好 n 个点的坐标，写成最多九位小数的十进制字符串；两两不重合
归属正方形内每个位置归属离它最近的点（即 Voronoi 剖分）；等距分界线面积为零，不影响积分值
分数E(P) 是单位正方形上到最近提交点的平方距离积分（因正方形面积为 1，积分即平均值）；验证器精确计算有理数积分后按 10⁻¹⁸ 向上取整 $E (P) = \int \int \min_{i} {‖ x - p_{i} ‖}^{2} d x$
目标在所有合法点集 P 中最小化 E(P) $\min_{P} E (P)$

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当前展示：起步布局

1y0

123456

0x1

已验证构造6 块 Voronoi 辖区，代价最高的一块占总代价的 21.6%

帮助理解

一个比喻：复活点

把正方形看作一张地图，这 n 个点就是地图上的复活点。玩家在地图上均匀随机出现，随后被送到离他最近的复活点；分数就是这段路程平方的平均值。

为什么只跑 Lloyd 算法不够

将每个点移到其 Voronoi 辖区的重心并反复迭代，就是经典的 Lloyd 算法。该迭代必然收敛到重心 Voronoi 剖分（CVT），但量化能量存在大量局部极小值，最终落入哪一个取决于初始排布。寻找全局最优需要在不同拓扑结构的局部极小之间搜索。

研究进展

n ≤ 2 的最优解已有严格证明；n = 3, 4, 5 的结果依赖尚未证明的对称性假设（Roychowdhury, arXiv:1608.03815）；n ≥ 6 的精确最优构形仍未解决。Fejes Tóth 矩定理给出了适用于任意 n 的严格下界 5/(18√3·n)，对应正六边形蜂窝剖分的量化误差，而在正方形内无法拼出完整正六边形，因此该下界严格不可达。

构型与历史

起步布局

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是边长为 1 的正方形，左下角为原点 (0, 0)，右上角为 (1, 1)。正方形内的每个位置都归属离它最近的点，将正方形划分为 n 个 Voronoi 区域。坐标写成十进制小数，例如 "0.25"，最多九位小数。

提交 points。每个坐标写成十进制字符串，例如 "0.25"，最多九位小数。分数是整个单位正方形上的平均平方距离，越小越好。

起步布局答案

{
  "points": [
    [
      "0.726990535",
      "0.843868770"
    ],
    [
      "0.843052020",
      "0.500000004"
    ],
    [
      "0.726990539",
      "0.156131232"
    ],
    [
      "0.454136896",
      "0.499999998"
    ],
    [
      "0.203238162",
      "0.780477686"
    ],
    [
      "0.203238163",
      "0.219522312"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 6
}

起步布局答案

{
  "points": [
    [
      "0.726990535",
      "0.843868770"
    ],
    [
      "0.843052020",
      "0.500000004"
    ],
    [
      "0.726990539",
      "0.156131232"
    ],
    [
      "0.454136896",
      "0.499999998"
    ],
    [
      "0.203238162",
      "0.780477686"
    ],
    [
      "0.203238163",
      "0.219522312"
    ]
  ]
}

提交 points。每个坐标写成十进制字符串，例如 "0.25"，最多九位小数。分数是整个单位正方形上的平均平方距离，越小越好。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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