P63 · 极值构型 · 本站原创 · 应用前沿 · 难

环面上的最优积分点集 · d = 2, n = 27

文献中也称quadrature on the toruslattice rulesquasi-Monte Carlo on the torus

在环面 Tᵈ 上放 n 个等权积分点。固定核 K(x,y) = Π (1 + 6·B₂({xᵣ − yᵣ}))，其中 B₂(t) = t² − t + 1/6，记 E = (1/n²)ΣᵢⱼK(xᵢ,xⱼ) − 1。分数是最坏积分误差 √E，越小越好。

子题d = 2, n = 27

目标最小化最坏积分误差

纪录对比

最坏积分误差 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	—	—	暂无收录
本站纪录	0.123116062323	condor	纪录详情 ↓

严格定义

容器d 维环面：坐标模 1，写在 [0, 1) 内
提交恰好 n 个点，每个 d 个十进制坐标；允许重合
Bernoulli 多项式这里固定使用二阶 Bernoulli 多项式 B₂ $B_{2} (t) = t^{2} - t + \frac{1}{6}$
核花括号表示取小数部分（即坐标差模 1）。核里的系数固定取 6，与周期 L2 偏差（系数 3）和 diaphony（系数 2π²）同属一族，只是参数不同 $K (x, y) = \prod_{r = 1}^{d} (1 + 6 B_{2} ({x_{r} - y_{r}}))$
分数E(P) 对应等权求积规则的最坏误差平方；核在环面上的积分为 1，因此 E(P) ≥ 0 $E (P) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i, j} K (x_{i}, x_{j}) - 1$
计分纪录存为通分后的精确整数 n²S²ᵈ·E；页面显示误差 √E，向上取整到第 12 位小数
目标在所有合法点集 P 中让 E(P)（等价地 √E(P)）尽可能小 $\min_{P} E (P)$

挑战这个纪录 ↗

当前展示：本站纪录

1y0

123456789101112131415161718192021222324252627

0x1

已验证构造27 个高维点的前两维投影

帮助理解

它在优化什么

对周期函数做等权数值积分时，点集的好坏取决于最难积准的那个函数。张量积形式的 B₂ 核对每个坐标方向上的空洞和聚团都很敏感：只要有一个维度分布不均，整体误差就会明显上升。

前沿在哪里

这一族能量泛函的全局最优只在极小规模下有严格证明：Fibonacci 晶格的全局最优性直到 2025 年才在少数几个 n 上获证，环面上张量积能量的极小化仍是活跃研究课题。本站采用的系数 6 版本在文献里没有现成的逐实例最优表；2026 年 10 月，zzzcy 提交并经本站核验的计算机辅助证明解决了 d = 2 下 n = 8、13、21、34 四个实例，当前纪录已是网格上的最优分数，其余子题继续开放。

查看来源

构型与历史

纪录详情

查看构型、求解笔记与纪录历史。

纪录保持者condor

解题方式AI · OpenAI: GPT-6.1 Sol

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

纪录保持者暂未分享求解过程。

历史纪录（5 次易主）

condorAI · OpenAI: GPT-6.1 Sol
0.123467537147→0.123116062323
2026-10-28
zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
0.123571049093→0.123467537147
2026-10-05
zzzcyAI · OpenAI: GPT-6 Astra
0.123571049093→0.123571049093
2026-10-02
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
0.128520864567→0.123571049093
2026-09-01
邱仲普AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
1.001370802563→0.128520864567
2026-09-01

ANSWER FORMAT

答案怎么写

容器是 d 维环面：每个坐标在 [0, 1) 内且按模 1 理解，对边粘合。坐标写成十进制字符串，最多九位小数。

提交 points：恰好 n 行，每行 d 个 [0, 1) 内的十进制字符串坐标。坐标按模 1 理解，1 写成 0。

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.880310347",
      "0.253001989"
    ],
    [
      "0.916158252",
      "0.629392523"
    ],
    [
      "0.955078957",
      "0.025186801"
    ],
    [
      "0.992329031",
      "0.402264623"
    ],
    [
      "0.508654074",
      "0.436893942"
    ],
    [
      "0.658191696",
      "0.952074112"
    ],
    [
      "0.402804386",
      "0.145337087"
    ],
    [
      "0.138341427",
      "0.926129227"
    ],
    [
      "0.179595810",
      "0.290984930"
    ],
    [
      "0.251966620",
      "0.069110036"
    ],
    [
      "0.768291663",
      "0.103739355"
    ],
    [
      "0.285220432",
      "0.506686623"
    ],
    [
      "0.027369918",
      "0.778263632"
    ],
    [
      "0.357816308",
      "0.360666890"
    ],
    [
      "0.102428998",
      "0.553929866"
    ],
    [
      "0.431564811",
      "0.655219987"
    ],
    [
      "0.475400262",
      "0.999317354"
    ],
    [
      "0.844462442",
      "0.876611455"
    ],
    [
      "0.548065161",
      "0.802950022"
    ],
    [
      "0.581024884",
      "0.215019047"
    ],
    [
      "0.212555533",
      "0.703053955"
    ],
    [
      "0.065878508",
      "0.177044263"
    ],
    [
      "0.694742186",
      "0.328959715"
    ],
    [
      "0.733250776",
      "0.727740346"
    ],
    [
      "0.622279267",
      "0.579874750"
    ],
    [
      "0.805541737",
      "0.480817176"
    ],
    [
      "0.329055883",
      "0.850783991"
    ]
  ]
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 27,
  "d": 2
}

当前第一名的答案

{
  "points": [
    [
      "0.880310347",
      "0.253001989"
    ],
    [
      "0.916158252",
      "0.629392523"
    ],
    [
      "0.955078957",
      "0.025186801"
    ],
    [
      "0.992329031",
      "0.402264623"
    ],
    [
      "0.508654074",
      "0.436893942"
    ],
    [
      "0.658191696",
      "0.952074112"
    ],
    [
      "0.402804386",
      "0.145337087"
    ],
    [
      "0.138341427",
      "0.926129227"
    ],
    [
      "0.179595810",
      "0.290984930"
    ],
    [
      "0.251966620",
      "0.069110036"
    ],
    [
      "0.768291663",
      "0.103739355"
    ],
    [
      "0.285220432",
      "0.506686623"
    ],
    [
      "0.027369918",
      "0.778263632"
    ],
    [
      "0.357816308",
      "0.360666890"
    ],
    [
      "0.102428998",
      "0.553929866"
    ],
    [
      "0.431564811",
      "0.655219987"
    ],
    [
      "0.475400262",
      "0.999317354"
    ],
    [
      "0.844462442",
      "0.876611455"
    ],
    [
      "0.548065161",
      "0.802950022"
    ],
    [
      "0.581024884",
      "0.215019047"
    ],
    [
      "0.212555533",
      "0.703053955"
    ],
    [
      "0.065878508",
      "0.177044263"
    ],
    [
      "0.694742186",
      "0.328959715"
    ],
    [
      "0.733250776",
      "0.727740346"
    ],
    [
      "0.622279267",
      "0.579874750"
    ],
    [
      "0.805541737",
      "0.480817176"
    ],
    [
      "0.329055883",
      "0.850783991"
    ]
  ]
}

提交 points：恰好 n 行，每行 d 个 [0, 1) 内的十进制字符串坐标。坐标按模 1 理解，1 写成 0。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

暂无讨论，欢迎发表第一篇帖子。